Theorem shincl 5332

Description: Closure of intersection of two subspaces.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shincl	|- (A i^i B) e. SH

Proof of Theorem shincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 |- A e. SH
2	1	elisseti 1355	. . 3 |- A e. V
3		shincl.2	. . . 4 |- B e. SH
4	3	elisseti 1355	. . 3 |- B e. V
5	2, 4	intpr 1990	. 2 |- |^|{A, B} = (A i^i B)
6	1, 3	pm3.2i 234	. . . . 5 |- (A e. SH /\ B e. SH)
7	2, 4	prss 1854	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) <-> {A, B} (_ SH)
8	6, 7	mpbi 164	. . . 4 |- {A, B} (_ SH
9	2	prnz 1847	. . . 4 |- -. {A, B} = (/)
10	8, 9	pm3.2i 234	. . 3 |- ({A, B} (_ SH /\ -. {A, B} = (/))
11	10	shintcl 5294	. 2 |- |^|{A, B} e. SH
12	5, 11	eqeltrr 1160	1 |- (A i^i B) e. SH

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707  {cpr 1809  |^|cint 1965  SHcsh 4967

This theorem is referenced by:  shinclt 5352  shmods 5363  shmod 5364  5oalem1 5544  5oalem3 5546  5oalem5 5548  5oalem6 5549  5oa 5551  3oalem2 5553  3oalem6 5557

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvzercl 4987

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003  df-sh 5114

metamath.org