Theorem shmods 5363

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70.

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	|- A e. SH
shmod.2	|- B e. SH
shmod.3	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shmods	|- (A (_ C -> ((A +H B) i^i C) (_ (A +H (B i^i C)))

Proof of Theorem shmods

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubaddt 5042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. H~ /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> ((z -v x) = y <-> (x +v y) = z))
2		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. SH
3	2	shel 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. C -> z e. H~)
4		shmod.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. SH
5	4	shel 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. A -> x e. H~)
6		shmod.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B e. SH
7	6	shel 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. B -> y e. H~)
8	1, 3, 5, 7	syl3an 628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. C /\ x e. A /\ y e. B) -> ((z -v x) = y <-> (x +v y) = z))
9		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x +v y) = z <-> z = (x +v y))
10	8, 9	syl6bb 414	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. C /\ x e. A /\ y e. B) -> ((z -v x) = y <-> z = (x +v y)))
11	10	3expb 613	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> ((z -v x) = y <-> z = (x +v y)))
12	4, 2	shlesb1 5360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A (_ C <-> (A +H C) = C)
13	12	biimp 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A (_ C -> (A +H C) = C)
14	13	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A (_ C -> ((z -v x) e. (A +H C) <-> (z -v x) e. C))
15	2, 4	shsvs 5337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. C /\ x e. A) -> (z -v x) e. (C +H A))
16	2, 4	shscom 5333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (C +H A) = (A +H C)
17	16	eleq2i 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z -v x) e. (C +H A) <-> (z -v x) e. (A +H C))
18	15, 17	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. C /\ x e. A) -> (z -v x) e. (A +H C))
19	14, 18	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A (_ C -> ((z e. C /\ x e. A) -> (z -v x) e. C))
20		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z -v x) = y -> ((z -v x) e. C <-> y e. C))
21	20	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z -v x) = y -> ((z -v x) e. C -> y e. C))
22	19, 21	sylan9 359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A (_ C /\ (z -v x) = y) -> ((z e. C /\ x e. A) -> y e. C))
23	22	anim2d 433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A (_ C /\ (z -v x) = y) -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> (y e. B /\ y e. C)))
24		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. (B i^i C) <-> (y e. B /\ y e. C))
25	23, 24	syl6ibr 186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A (_ C /\ (z -v x) = y) -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> y e. (B i^i C)))
26	25	exp 291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A (_ C -> ((z -v x) = y -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> y e. (B i^i C))))
27	26	com13 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> ((z -v x) = y -> (A (_ C -> y e. (B i^i C))))
28	27	ancoms 334	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. C /\ x e. A) /\ y e. B) -> ((z -v x) = y -> (A (_ C -> y e. (B i^i C))))
29	28	anasss 337	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> ((z -v x) = y -> (A (_ C -> y e. (B i^i C))))
30	11, 29	sylbird 180	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (z = (x +v y) -> (A (_ C -> y e. (B i^i C))))
31	30	imp 277	. . . . . . . . 9 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +v y)) -> (A (_ C -> y e. (B i^i C)))
32		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (x +v y) -> (z e. (A +H (B i^i C)) <-> (x +v y) e. (A +H (B i^i C))))
33	6, 2	shincl 5332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B i^i C) e. SH
34	4, 33	shsva 5334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. A /\ y e. (B i^i C)) -> (x +v y) e. (A +H (B i^i C)))
35	32, 34	syl5bir 184	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (x +v y) -> ((x e. A /\ y e. (B i^i C)) -> z e. (A +H (B i^i C))))
36	35	exp3a 292	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (x +v y) -> (x e. A -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
37	36	com12 13	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (z = (x +v y) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
38	37	ad2antrl 322	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (z = (x +v y) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
39	38	imp 277	. . . . . . . . 9 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +v y)) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
40	31, 39	syld 27	. . . . . . . 8 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +v y)) -> (A (_ C -> z e. (A +H (B i^i C))))
41	40	exp31 293	. . . . . . 7 |- (z e. C -> ((x e. A /\ y e. B) -> (z = (x +v y) -> (A (_ C -> z e. (A +H (B i^i C))))))
42	41	r19.23advv 1288	. . . . . 6 |- (z e. C -> (E.x e. A E.y e. B z = (x +v y) -> (A (_ C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
43	4, 6	shsel 5281	. . . . . 6 |- (z e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B z = (x +v y))
44	42, 43	syl5ib 181	. . . . 5 |- (z e. C -> (z e. (A +H B) -> (A (_ C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
45	44	com13 33	. . . 4 |- (A (_ C -> (z e. (A +H B) -> (z e. C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
46	45	imp3a 279	. . 3 |- (A (_ C -> ((z e. (A +H B) /\ z e. C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
47		elin 1635	. . 3 |- (z e. ((A +H B) i^i C) <-> (z e. (A +H B) /\ z e. C))
48	46, 47	syl5ib 181	. 2 |- (A (_ C -> (z e. ((A +H B) i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
49	48	ssrdv 1509	1 |- (A (_ C -> ((A +H B) i^i C) (_ (A +H (B i^i C)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959   -v cmv 4962  SHcsh 4967   +H cph 4970

This theorem is referenced by:  shmod 5364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org