Theorem shne0 5372

Description: A non-zero subspace has a non-zero vector.

Hypothesis

Ref	Expression
sh0le.1	|- A e. SH

Assertion

Ref	Expression
shne0	|- (-. A = 0H <-> E.x e. A -. x = 0v)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem shne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh0le.1	. . . . . 6 |- A e. SH
2		shle0t 5367	. . . . . 6 |- (A e. SH -> (A (_ 0H <-> A = 0H))
3	1, 2	ax-mp 6	. . . . 5 |- (A (_ 0H <-> A = 0H)
4	3	negbii 162	. . . 4 |- (-. A (_ 0H <-> -. A = 0H)
5		nss 1550	. . . 4 |- (-. A (_ 0H <-> E.x(x e. A /\ -. x e. 0H))
6	4, 5	bitr3 153	. . 3 |- (-. A = 0H <-> E.x(x e. A /\ -. x e. 0H))
7		df-rex 1206	. . 3 |- (E.x e. A -. x e. 0H <-> E.x(x e. A /\ -. x e. 0H))
8	6, 7	bitr4 154	. 2 |- (-. A = 0H <-> E.x e. A -. x e. 0H)
9		elch0 5158	. . . 4 |- (x e. 0H <-> x = 0v)
10	9	negbii 162	. . 3 |- (-. x e. 0H <-> -. x = 0v)
11	10	birex 1224	. 2 |- (E.x e. A -. x e. 0H <-> E.x e. A -. x = 0v)
12	8, 11	bitr 151	1 |- (-. A = 0H <-> E.x e. A -. x = 0v)

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   (_ wss 1487  0vc0v 4961  SHcsh 4967  0Hc0h 4974

This theorem is referenced by:  chne0 5375  shatomic 5753

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-hilex 4983  ax-hvzercl 4987

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-sn 1811  df-pr 1812  df-sh 5114  df-ch0 5157

metamath.org