Theorem shselt 5280

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shselt	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +v y)))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shselt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsumvalt 5279	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +v y)})
2	1	eleq2d 1156	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> C e. {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +v y)}))
3		cleq1 1107	. . . . . 6 |- (z = C -> (z = (x +v y) <-> C = (x +v y)))
4	3	birexdv 1220	. . . . 5 |- (z = C -> (E.y e. B z = (x +v y) <-> E.y e. B C = (x +v y)))
5	4	birexdv 1220	. . . 4 |- (z = C -> (E.x e. A E.y e. B z = (x +v y) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +v y)))
6	5	elrab 1422	. . 3 |- (C e. {z e. H~ | E.x e. A E.y e. B z = (x +v y)} <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +v y)))
7	2, 6	syl6bb 414	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +v y))))
8		shss 5117	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> A (_ H~)
9	8	sseld 1506	. . . . . 6 |- (A e. SH -> (x e. A -> x e. H~))
10		shss 5117	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> B (_ H~)
11	10	sseld 1506	. . . . . 6 |- (B e. SH -> (y e. B -> y e. H~))
12	9, 11	im2anan9 434	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (x e. H~ /\ y e. H~)))
13		ax-hvaddcl 4984	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +v y) e. H~)
14		eleq1a 1158	. . . . . 6 |- ((x +v y) e. H~ -> (C = (x +v y) -> C e. H~))
15	13, 14	syl 12	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (C = (x +v y) -> C e. H~))
16	12, 15	syl6 23	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (C = (x +v y) -> C e. H~)))
17	16	r19.23advv 1288	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +v y) -> C e. H~))
18		pm4.71r 482	. . 3 |- ((E.x e. A E.y e. B C = (x +v y) -> C e. H~) <-> (E.x e. A E.y e. B C = (x +v y) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +v y))))
19	17, 18	sylib 173	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +v y) <-> (C e. H~ /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +v y))))
20	7, 19	bitr4d 409	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +v y)))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  {crab 1204  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959  SHcsh 4967   +H cph 4970

This theorem is referenced by:  shsel 5281  shscomt 5284  shsvat 5285  sumdmdi 5785  sumdmdlem 5786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org