Theorem shsidm 5358

Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum.

Hypothesis

Ref	Expression
shsidm.1	|- A e. SH

Assertion

Ref	Expression
shsidm	|- (A +H A) = A

Proof of Theorem shsidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsidm.1	. . . . 5 |- A e. SH
2	1, 1	shsel 5281	. . . 4 |- (x e. (A +H A) <-> E.y e. A E.z e. A x = (y +v z))
3		eleq1 1149	. . . . . . 7 |- (x = (y +v z) -> (x e. A <-> (y +v z) e. A))
4		shaddclt 5123	. . . . . . . 8 |- (A e. SH -> ((y e. A /\ z e. A) -> (y +v z) e. A))
5	1, 4	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- ((y e. A /\ z e. A) -> (y +v z) e. A)
6	3, 5	syl5bir 184	. . . . . 6 |- (x = (y +v z) -> ((y e. A /\ z e. A) -> x e. A))
7	6	com12 13	. . . . 5 |- ((y e. A /\ z e. A) -> (x = (y +v z) -> x e. A))
8	7	r19.23aivv 1287	. . . 4 |- (E.y e. A E.z e. A x = (y +v z) -> x e. A)
9	2, 8	sylbi 174	. . 3 |- (x e. (A +H A) -> x e. A)
10	9	ssriv 1508	. 2 |- (A +H A) (_ A
11	1, 1	shsub1 5342	. 2 |- A (_ (A +H A)
12	10, 11	eqssi 1517	1 |- (A +H A) = A

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  (class class class)co 3001   +v cva 4959  SHcsh 4967   +H cph 4970

This theorem is referenced by:  shslub 5359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvaddid 4988

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org