Theorem shsubclt 5125

Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
shsubclt	|- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A -v B) e. H))

Proof of Theorem shsubclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 5117	. . . . . . 7 |- (H e. SH -> H (_ H~)
2	1	sseld 1506	. . . . . 6 |- (H e. SH -> (A e. H -> A e. H~))
3	1	sseld 1506	. . . . . 6 |- (H e. SH -> (B e. H -> B e. H~))
4	2, 3	anim12d 431	. . . . 5 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A e. H~ /\ B e. H~)))
5	4	imp 277	. . . 4 |- ((H e. SH /\ (A e. H /\ B e. H)) -> (A e. H~ /\ B e. H~))
6		hvsubvalt 4997	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -v B) = (A +v (-u1 .s B)))
7	5, 6	syl 12	. . 3 |- ((H e. SH /\ (A e. H /\ B e. H)) -> (A -v B) = (A +v (-u1 .s B)))
8		1cn 4101	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
9	8	negcl 4142	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
10		shmulclt 5124	. . . . . . 7 |- (H e. SH -> ((-u1 e. CC /\ B e. H) -> (-u1 .s B) e. H))
11	9, 10	mpani 521	. . . . . 6 |- (H e. SH -> (B e. H -> (-u1 .s B) e. H))
12	11	anim2d 433	. . . . 5 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A e. H /\ (-u1 .s B) e. H)))
13		shaddclt 5123	. . . . 5 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ (-u1 .s B) e. H) -> (A +v (-u1 .s B)) e. H))
14	12, 13	syld 27	. . . 4 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A +v (-u1 .s B)) e. H))
15	14	imp 277	. . 3 |- ((H e. SH /\ (A e. H /\ B e. H)) -> (A +v (-u1 .s B)) e. H)
16	7, 15	eqeltrd 1163	. 2 |- ((H e. SH /\ (A e. H /\ B e. H)) -> (A -v B) e. H)
17	16	exp 291	1 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A -v B) e. H))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  (class class class)co 3001  CCcc 4026  1c1 4029  -ucneg 4090  H~chil 4958   +v cva 4959   .s csm 4960   -v cmv 4962  SHcsh 4967

This theorem is referenced by:  chocuni 5179  omlsilem 5249  pjoc1 5268  pjoml 5271  shsvst 5288  shsvs 5337  osumlem2 5531  spansncv 5542  pjss2 5571  pjssm 5572  pjocin 5583  sumdmdi 5785

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-sub 4133  df-neg 4135  df-hvsub 4996  df-sh 5114

metamath.org