Theorem shsvat 5285

Description: Vector sum belongs to subspace sum.

Assertion

Ref	Expression
shsvat	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((C e. A /\ D e. B) -> (C +v D) e. (A +H B)))

Proof of Theorem shsvat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shselt 5280	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((C +v D) e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B (C +v D) = (x +v y)))
2		cleqid 1102	. . 3 |- (C +v D) = (C +v D)
3		opreq1 3006	. . . . 5 |- (x = C -> (x +v y) = (C +v y))
4	3	cleq2d 1112	. . . 4 |- (x = C -> ((C +v D) = (x +v y) <-> (C +v D) = (C +v y)))
5		opreq2 3007	. . . . 5 |- (y = D -> (C +v y) = (C +v D))
6	5	cleq2d 1112	. . . 4 |- (y = D -> ((C +v D) = (C +v y) <-> (C +v D) = (C +v D)))
7	4, 6	rcla42ev 1405	. . 3 |- (((C e. A /\ D e. B) /\ (C +v D) = (C +v D)) -> E.x e. A E.y e. B (C +v D) = (x +v y))
8	2, 7	mpan2 519	. 2 |- ((C e. A /\ D e. B) -> E.x e. A E.y e. B (C +v D) = (x +v y))
9	1, 8	syl5bir 184	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((C e. A /\ D e. B) -> (C +v D) e. (A +H B)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  (class class class)co 3001   +v cva 4959  SHcsh 4967   +H cph 4970

This theorem is referenced by:  shsel1t 5286  shsva 5334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-sh 5114  df-shsum 5275

metamath.org