Theorem so 2152

Description: Deduce strict ordering from its properties.

Hypothesis

Ref	Expression
so.1	|- ((x e. A /\ y e. A /\ z e. A) -> ((xRy <-> -. (x = y \/ yRx)) /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)))

Assertion

Ref	Expression
so	|- R Or A

Distinct variable group(s):   x,y,z,R   x,A,y,z

Proof of Theorem so

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. . . . 5 |- x = x
2		orc 225	. . . . 5 |- (x = x -> (x = x \/ xRx))
3	1, 2	ax-mp 6	. . . 4 |- (x = x \/ xRx)
4		eleq1 1149	. . . . . . 7 |- (y = x -> (y e. A <-> x e. A))
5	4	anbi2d 468	. . . . . 6 |- (y = x -> ((x e. A /\ y e. A) <-> (x e. A /\ x e. A)))
6		cleq2 1110	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (x = y <-> x = x))
7		breq1 2065	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (yRx <-> xRx))
8	6, 7	orbi12d 475	. . . . . . 7 |- (y = x -> ((x = y \/ yRx) <-> (x = x \/ xRx)))
9		breq2 2066	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (xRy <-> xRx))
10	9	negbid 463	. . . . . . 7 |- (y = x -> (-. xRy <-> -. xRx))
11	8, 10	bibi12d 477	. . . . . 6 |- (y = x -> (((x = y \/ yRx) <-> -. xRy) <-> ((x = x \/ xRx) <-> -. xRx)))
12	5, 11	imbi12d 474	. . . . 5 |- (y = x -> (((x e. A /\ y e. A) -> ((x = y \/ yRx) <-> -. xRy)) <-> ((x e. A /\ x e. A) -> ((x = x \/ xRx) <-> -. xRx))))
13		3anass 585	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ y e. A /\ y e. A) <-> (x e. A /\ (y e. A /\ y e. A)))
14		anidm 331	. . . . . . . . 9 |- ((y e. A /\ y e. A) <-> y e. A)
15	14	anbi2i 367	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ (y e. A /\ y e. A)) <-> (x e. A /\ y e. A))
16	13, 15	bitr2 152	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ y e. A) <-> (x e. A /\ y e. A /\ y e. A))
17		pm4.2i 149	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (x e. A <-> x e. A))
18		pm4.2i 149	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (y e. A <-> y e. A))
19		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (z e. A <-> y e. A))
20	17, 18, 19	bi3and 636	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> ((x e. A /\ y e. A /\ z e. A) <-> (x e. A /\ y e. A /\ y e. A)))
21	20	imbi1d 465	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (((x e. A /\ y e. A /\ z e. A) -> (xRy <-> -. (x = y \/ yRx))) <-> ((x e. A /\ y e. A /\ y e. A) -> (xRy <-> -. (x = y \/ yRx)))))
22		so.1	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ y e. A /\ z e. A) -> ((xRy <-> -. (x = y \/ yRx)) /\ ((xRy /\ yRz) -> xRz)))
23	22	pm3.26d 258	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ y e. A /\ z e. A) -> (xRy <-> -. (x = y \/ yRx)))
24	21, 23	chv 984	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ y e. A /\ y e. A) -> (xRy <-> -. (x = y \/ yRx)))
25	16, 24	sylbi 174	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (xRy <-> -. (x = y \/ yRx)))
26	25	bicon2d 404	. . . . 5 |- ((x e. A /\ y e. A) -> ((x = y \/ yRx) <-> -. xRy))
27	12, 26	chv 984	. . . 4 |- ((x e. A /\ x e. A) -> ((x = x \/ xRx) <-> -. xRx))
28	3, 27	mpbii 168	. . 3 |- ((x e. A /\ x e. A) -> -. xRx)
29	28	anidms 332	. 2 |- (x e. A -> -. xRx)
30	22	pm3.27d 262	. 2 |- ((x e. A /\ y e. A /\ z e. A) -> ((xRy /\ yRz) -> xRz))
31	26	biimprd 136	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (-. xRy -> (x = y \/ yRx)))
32		3orass 584	. . . 4 |- ((xRy \/ x = y \/ yRx) <-> (xRy \/ (x = y \/ yRx)))
33		df-or 197	. . . 4 |- ((xRy \/ (x = y \/ yRx)) <-> (-. xRy -> (x = y \/ yRx)))
34	32, 33	bitr 151	. . 3 |- ((xRy \/ x = y \/ yRx) <-> (-. xRy -> (x = y \/ yRx)))
35	31, 34	sylibr 175	. 2 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (xRy \/ x = y \/ yRx))
36	29, 30, 35	itlso 2151	1 |- R Or A

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   \/ w3o 580   /\ w3a 581   = weq 797   e. wcel 1092   class class class wbr 2054   Or wor 2059

This theorem is referenced by:  ltsopi 3810  ltsopq 3869  ltsosr 3997  ltsor 4055  ltso 4279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-un 1490  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138

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