Theorem soirri 2629

Description: A strict order relation is irreflexive.

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- A e. V
soi.2	|- R Or S
soi.3	|- R (_ (S X. S)

Assertion

Ref	Expression
soirri	|- -. ARA

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . 4 |- R Or S
2		sonr 2143	. . . 4 |- ((R Or S /\ A e. S) -> -. ARA)
3	1, 2	mpan 518	. . 3 |- (A e. S -> -. ARA)
4	3	adantl 305	. 2 |- ((A e. S /\ A e. S) -> -. ARA)
5		soi.1	. . . 4 |- A e. V
6		soi.3	. . . 4 |- R (_ (S X. S)
7	5, 6	brel 2459	. . 3 |- (ARA -> (A e. S /\ A e. S))
8	7	con3i 90	. 2 |- (-. (A e. S /\ A e. S) -> -. ARA)
9	4, 8	pm2.61i 110	1 |- -. ARA

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348   (_ wss 1487   class class class wbr 2054   Or wor 2059   X. cxp 2408

This theorem is referenced by:  son2lpi 2631  ltrpq 3879  1pr 3911  ltapr 3945

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-po 2128  df-so 2138  df-xp 2424

metamath.org