Theorem spanun 5450

Description: The span of a union is the subspace sum of spans.

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	|- A (_ H~
spanun.2	|- B (_ H~

Assertion

Ref	Expression
spanun	|- (span` (A u. B)) = ((span` A) +H (span` B))

Proof of Theorem spanun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 |- A (_ H~
2		spanclt 5305	. . . . . . 7 |- (A (_ H~ -> (span` A) e. SH)
3	1, 2	ax-mp 6	. . . . . 6 |- (span` A) e. SH
4		spanun.2	. . . . . . 7 |- B (_ H~
5		spanclt 5305	. . . . . . 7 |- (B (_ H~ -> (span` B) e. SH)
6	4, 5	ax-mp 6	. . . . . 6 |- (span` B) e. SH
7	3, 6	shscl 5282	. . . . 5 |- ((span` A) +H (span` B)) e. SH
8	7	shssi 5119	. . . 4 |- ((span` A) +H (span` B)) (_ H~
9		spanss2 5315	. . . . . . 7 |- (A (_ H~ -> A (_ (span` A))
10	1, 9	ax-mp 6	. . . . . 6 |- A (_ (span` A)
11		spanss2 5315	. . . . . . 7 |- (B (_ H~ -> B (_ (span` B))
12	4, 11	ax-mp 6	. . . . . 6 |- B (_ (span` B)
13		unss12 1630	. . . . . 6 |- ((A (_ (span` A) /\ B (_ (span` B)) -> (A u. B) (_ ((span` A) u. (span` B)))
14	10, 12, 13	mp2an 520	. . . . 5 |- (A u. B) (_ ((span` A) u. (span` B))
15	3, 6	shunss 5338	. . . . 5 |- ((span` A) u. (span` B)) (_ ((span` A) +H (span` B))
16	14, 15	sstri 1512	. . . 4 |- (A u. B) (_ ((span` A) +H (span` B))
17		spanss 5319	. . . 4 |- ((((span` A) +H (span` B)) (_ H~ /\ (A u. B) (_ ((span` A) +H (span` B))) -> (span` (A u. B)) (_ (span` ((span` A) +H (span` B))))
18	8, 16, 17	mp2an 520	. . 3 |- (span` (A u. B)) (_ (span` ((span` A) +H (span` B)))
19		spanid 5318	. . . 4 |- (((span` A) +H (span` B)) e. SH -> (span` ((span` A) +H (span` B))) = ((span` A) +H (span` B)))
20	7, 19	ax-mp 6	. . 3 |- (span` ((span` A) +H (span` B))) = ((span` A) +H (span` B))
21	18, 20	sseqtr 1532	. 2 |- (span` (A u. B)) (_ ((span` A) +H (span` B))
22	3, 6	shsel 5281	. . . . 5 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) <-> E.z e. (span` A)E.w e. (span` B)x = (z +v w))
23		r2ex 1241	. . . . 5 |- (E.z e. (span` A)E.w e. (span` B)x = (z +v w) <-> E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +v w)))
24	22, 23	bitr 151	. . . 4 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) <-> E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +v w)))
25		r19.27av 1293	. . . . . . 7 |- ((A.y e. SH ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +v w)) -> A.y e. SH (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +v w)))
26		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
27	26	elspan 5449	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ H~ -> (z e. (span` A) <-> A.y e. SH (A (_ y -> z e. y)))
28	1, 27	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 |- (z e. (span` A) <-> A.y e. SH (A (_ y -> z e. y))
29		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- w e. V
30	29	elspan 5449	. . . . . . . . . 10 |- (B (_ H~ -> (w e. (span` B) <-> A.y e. SH (B (_ y -> w e. y)))
31	4, 30	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 |- (w e. (span` B) <-> A.y e. SH (B (_ y -> w e. y))
32	28, 31	anbi12i 369	. . . . . . . 8 |- ((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) <-> (A.y e. SH (A (_ y -> z e. y) /\ A.y e. SH (B (_ y -> w e. y)))
33		r19.26 1289	. . . . . . . 8 |- (A.y e. SH ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) <-> (A.y e. SH (A (_ y -> z e. y) /\ A.y e. SH (B (_ y -> w e. y)))
34	32, 33	bitr4 154	. . . . . . 7 |- ((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) <-> A.y e. SH ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)))
35	25, 34	sylanb 344	. . . . . 6 |- (((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +v w)) -> A.y e. SH (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +v w)))
36		prth 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) -> ((A (_ y /\ B (_ y) -> (z e. y /\ w e. y)))
37		unss 1632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A (_ y /\ B (_ y) <-> (A u. B) (_ y)
38	36, 37	syl5ibr 182	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) -> ((A u. B) (_ y -> (z e. y /\ w e. y)))
39		shaddclt 5123	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. SH -> ((z e. y /\ w e. y) -> (z +v w) e. y))
40	38, 39	sylan9r 360	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. SH /\ ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y))) -> ((A u. B) (_ y -> (z +v w) e. y))
41		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (z +v w) -> (x e. y <-> (z +v w) e. y))
42	41	biimprd 136	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (z +v w) -> ((z +v w) e. y -> x e. y))
43	40, 42	sylan9 359	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. SH /\ ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y))) /\ x = (z +v w)) -> ((A u. B) (_ y -> x e. y))
44	43	exp42 300	. . . . . . . . 9 |- (y e. SH -> ((A (_ y -> z e. y) -> ((B (_ y -> w e. y) -> (x = (z +v w) -> ((A u. B) (_ y -> x e. y)))))
45	44	imp4c 284	. . . . . . . 8 |- (y e. SH -> ((((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +v w)) -> ((A u. B) (_ y -> x e. y)))
46	45	r19.20i 1253	. . . . . . 7 |- (A.y e. SH (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +v w)) -> A.y e. SH ((A u. B) (_ y -> x e. y))
47	1, 4	unssi 1633	. . . . . . . 8 |- (A u. B) (_ H~
48		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- x e. V
49	48	elspan 5449	. . . . . . . 8 |- ((A u. B) (_ H~ -> (x e. (span` (A u. B)) <-> A.y e. SH ((A u. B) (_ y -> x e. y)))
50	47, 49	ax-mp 6	. . . . . . 7 |- (x e. (span` (A u. B)) <-> A.y e. SH ((A u. B) (_ y -> x e. y))
51	46, 50	sylibr 175	. . . . . 6 |- (A.y e. SH (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +v w)) -> x e. (span` (A u. B)))
52	35, 51	syl 12	. . . . 5 |- (((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +v w)) -> x e. (span` (A u. B)))
53	52	19.23aivv 953	. . . 4 |- (E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +v w)) -> x e. (span` (A u. B)))
54	24, 53	sylbi 174	. . 3 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) -> x e. (span` (A u. B)))
55	54	ssriv 1508	. 2 |- ((span` A) +H (span` B)) (_ (span` (A u. B))
56	21, 55	eqssi 1517	1 |- (span` (A u. B)) = ((span` A) +H (span` B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   u. cun 1485   (_ wss 1487  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  H~chil 4958   +v cva 4959  SHcsh 4967   +H cph 4970  spancspn 4971

This theorem is referenced by:  spanunsn 5482  spansnj 5539

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036