Theorem sqrlem4 4734

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A
sqrlem4.3	|- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem4	|- (D e. S <-> (D e. RR /\ (0 <_ D /\ (D x. D) <_ A)))

Distinct variable group(s):   x,A   x,S   x,D

Proof of Theorem sqrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem4.3	. . 3 |- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
2	1	eleq2i 1153	. 2 |- (D e. S <-> D e. {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)})
3		breq2 2066	. . . 4 |- (x = D -> (0 <_ x <-> 0 <_ D))
4		opreq12 3008	. . . . . 6 |- ((x = D /\ x = D) -> (x x. x) = (D x. D))
5	4	anidms 332	. . . . 5 |- (x = D -> (x x. x) = (D x. D))
6	5	breq1d 2071	. . . 4 |- (x = D -> ((x x. x) <_ A <-> (D x. D) <_ A))
7	3, 6	anbi12d 476	. . 3 |- (x = D -> ((0 <_ x /\ (x x. x) <_ A) <-> (0 <_ D /\ (D x. D) <_ A)))
8	7	elrab 1422	. 2 |- (D e. {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)} <-> (D e. RR /\ (0 <_ D /\ (D x. D) <_ A)))
9	2, 8	bitr 151	1 |- (D e. S <-> (D e. RR /\ (0 <_ D /\ (D x. D) <_ A)))

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  {crab 1204   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028   x. cmulc 4032   < clt 4033   <_ cle 4092

This theorem is referenced by:  sqrlem5 4735  sqrlem6 4736  sqrlem12 4742  sqrlem13 4743

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

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