Theorem sqrmuli 4762

Description: Square root distributes over multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrth.1	|- A e. RR
sqr11.1	|- B e. RR
sqrmuli.1	|- 0 <_ A
sqrmuli.2	|- 0 <_ B

Assertion

Ref	Expression
sqrmuli	|- (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))

Proof of Theorem sqrmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrmuli.1	. . . . 5 |- 0 <_ A
2		sqrth.1	. . . . . 6 |- A e. RR
3	2	sqrth 4757	. . . . 5 |- (0 <_ A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
4	1, 3	ax-mp 6	. . . 4 |- ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A
5		sqrmuli.2	. . . . 5 |- 0 <_ B
6		sqr11.1	. . . . . 6 |- B e. RR
7	6	sqrth 4757	. . . . 5 |- (0 <_ B -> ((sqr` B) x. (sqr` B)) = B)
8	5, 7	ax-mp 6	. . . 4 |- ((sqr` B) x. (sqr` B)) = B
9	4, 8	opreq12i 3011	. . 3 |- (((sqr` A) x. (sqr` A)) x. ((sqr` B) x. (sqr` B))) = (A x. B)
10	2	sqrcl 4758	. . . . . 6 |- (0 <_ A -> (sqr` A) e. RR)
11	1, 10	ax-mp 6	. . . . 5 |- (sqr` A) e. RR
12	11	recn 4098	. . . 4 |- (sqr` A) e. CC
13	6	sqrcl 4758	. . . . . 6 |- (0 <_ B -> (sqr` B) e. RR)
14	5, 13	ax-mp 6	. . . . 5 |- (sqr` B) e. RR
15	14	recn 4098	. . . 4 |- (sqr` B) e. CC
16	12, 15, 12, 15	mul4 4180	. . 3 |- (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) = (((sqr` A) x. (sqr` A)) x. ((sqr` B) x. (sqr` B)))
17	2, 6	mulge0 4335	. . . . 5 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> 0 <_ (A x. B))
18	1, 5, 17	mp2an 520	. . . 4 |- 0 <_ (A x. B)
19	2, 6	remulcl 4119	. . . . 5 |- (A x. B) e. RR
20	19	sqrth 4757	. . . 4 |- (0 <_ (A x. B) -> ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (A x. B))
21	18, 20	ax-mp 6	. . 3 |- ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (A x. B)
22	9, 16, 21	3eqtr4r 1127	. 2 |- ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B)))
23	19	sqrge0 4760	. . . 4 |- (0 <_ (A x. B) -> 0 <_ (sqr` (A x. B)))
24	18, 23	ax-mp 6	. . 3 |- 0 <_ (sqr` (A x. B))
25	2	sqrge0 4760	. . . . 5 |- (0 <_ A -> 0 <_ (sqr` A))
26	1, 25	ax-mp 6	. . . 4 |- 0 <_ (sqr` A)
27	6	sqrge0 4760	. . . . 5 |- (0 <_ B -> 0 <_ (sqr` B))
28	5, 27	ax-mp 6	. . . 4 |- 0 <_ (sqr` B)
29	11, 14	mulge0 4335	. . . 4 |- ((0 <_ (sqr` A) /\ 0 <_ (sqr` B)) -> 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B)))
30	26, 28, 29	mp2an 520	. . 3 |- 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B))
31	19	sqrcl 4758	. . . . 5 |- (0 <_ (A x. B) -> (sqr` (A x. B)) e. RR)
32	18, 31	ax-mp 6	. . . 4 |- (sqr` (A x. B)) e. RR
33	11, 14	remulcl 4119	. . . 4 |- ((sqr` A) x. (sqr` B)) e. RR
34	32, 33	sq11 4416	. . 3 |- ((0 <_ (sqr` (A x. B)) /\ 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B))) -> (((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) <-> (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))))
35	24, 30, 34	mp2an 520	. 2 |- (((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) <-> (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B)))
36	22, 35	mpbi 164	1 |- (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))

Syntax hints:   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092   class class class wbr 2054  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028   x. cmulc 4032   <_ cle 4092  sqrcsqr 4727

This theorem is referenced by:  sqrmul 4763  absmul 4846  normlem6 5068  norm-iii 5087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-sqr 4728

metamath.org