Theorem ssdomg 3311

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- (A e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1domg 3299	. 2 |- (A e. C -> ((I |` A):A-1-1->B -> A ~<_ B))
2		f1oi 2825	. . . . . . . 8 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
3		f1o3 2805	. . . . . . . 8 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A <-> ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A)))
4	2, 3	mpbi 164	. . . . . . 7 |- ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A))
5	4	pm3.26i 257	. . . . . 6 |- (I |` A):A-onto->A
6		fof 2788	. . . . . 6 |- ((I |` A):A-onto->A -> (I |` A):A-->A)
7	5, 6	ax-mp 6	. . . . 5 |- (I |` A):A-->A
8		fss 2759	. . . . 5 |- (((I |` A):A-->A /\ A (_ B) -> (I |` A):A-->B)
9	7, 8	mpan 518	. . . 4 |- (A (_ B -> (I |` A):A-->B)
10		funi 2692	. . . . . 6 |- Fun I
11		cnvi 2634	. . . . . . 7 |- `'I = I
12		funeq 2683	. . . . . . 7 |- (`'I = I -> (Fun `'I <-> Fun I))
13	11, 12	ax-mp 6	. . . . . 6 |- (Fun `'I <-> Fun I)
14	10, 13	mpbir 165	. . . . 5 |- Fun `'I
15		funres11 2709	. . . . 5 |- (Fun `'I -> Fun `'(I |` A))
16	14, 15	ax-mp 6	. . . 4 |- Fun `'(I |` A)
17	9, 16	jctir 241	. . 3 |- (A (_ B -> ((I |` A):A-->B /\ Fun `'(I |` A)))
18		df-f1 2435	. . 3 |- ((I |` A):A-1-1->B <-> ((I |` A):A-->B /\ Fun `'(I |` A)))
19	17, 18	sylibr 175	. 2 |- (A (_ B -> (I |` A):A-1-1->B)
20	1, 19	syl5 22	1 |- (A e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487   class class class wbr 2054  Icid 2057  `'ccnv 2409   |` cres 2412  Fun wfun 2416  -->wf 2418  -1-1->wf1 2419  -onto->wfo 2420  -1-1-onto->wf1o 2421   ~<_ cdom 3272

This theorem is referenced by:  ssdom2g 3312  xpdom3 3347  0dom 3366  mapdom1 3387  onomeneq 3414  nndomo 3416  omsdomnn 3424  unbnn 3435  fodom 3613  carddomi 3641  unxpdomlem 3649  sdomel 3653  ondomon 3662  carduni 3664  cardprc 3667  alephordlem2 3678  alephordi 3679  cdadom3 3729  znnen 4930  qnnen 4931  infxpidmlem1 4933  infxpidmlem8 4940  infxpidmlem11 4943  infxpidmlem12 4944  infunabs 4946  infdif 4948  infmap2 4953  alephexp1 4954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org