Theorem sshjvalt 5321

Description: Value of join for subsets of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
sshjvalt	|- ((A (_ H~ /\ B (_ H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))

Proof of Theorem sshjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 2838	. . 3 |- (_|_` (_|_` (A u. B))) e. V
2		uneq1 1605	. . . . 5 |- (x = A -> (x u. y) = (A u. y))
3	2	fveq2d 2836	. . . 4 |- (x = A -> (_|_` (x u. y)) = (_|_` (A u. y)))
4	3	fveq2d 2836	. . 3 |- (x = A -> (_|_` (_|_` (x u. y))) = (_|_` (_|_` (A u. y))))
5		uneq2 1606	. . . . 5 |- (y = B -> (A u. y) = (A u. B))
6	5	fveq2d 2836	. . . 4 |- (y = B -> (_|_` (A u. y)) = (_|_` (A u. B)))
7	6	fveq2d 2836	. . 3 |- (y = B -> (_|_` (_|_` (A u. y))) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
8		df-chj 5277	. . . 4 |- vH = {<.<.x, y>., z>. | ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
9		visset 1350	. . . . . . . 8 |- x e. V
10	9	elpw 1801	. . . . . . 7 |- (x e. P~H~ <-> x (_ H~)
11		visset 1350	. . . . . . . 8 |- y e. V
12	11	elpw 1801	. . . . . . 7 |- (y e. P~H~ <-> y (_ H~)
13	10, 12	anbi12i 369	. . . . . 6 |- ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) <-> (x (_ H~ /\ y (_ H~))
14	13	anbi1i 368	. . . . 5 |- (((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y)))) <-> ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y)))))
15	14	bioprabi 3027	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
16	8, 15	eqtr4 1122	. . 3 |- vH = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
17	1, 4, 7, 16	oprabval2 3051	. 2 |- ((A e. P~H~ /\ B e. P~H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
18		ax-hilex 4983	. . 3 |- H~ e. V
19		elpw2g 1803	. . 3 |- (H~ e. V -> (A e. P~H~ <-> A (_ H~))
20	18, 19	ax-mp 6	. 2 |- (A e. P~H~ <-> A (_ H~)
21		elpw2g 1803	. . 3 |- (H~ e. V -> (B e. P~H~ <-> B (_ H~))
22	18, 21	ax-mp 6	. 2 |- (B e. P~H~ <-> B (_ H~)
23	17, 20, 22	syl2anbr 351	1 |- ((A (_ H~ /\ B (_ H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   u. cun 1485   (_ wss 1487  P~cpw 1798  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  {copab2 3002  H~chil 4958  _|_cort 4969   vH chj 4972

This theorem is referenced by:  shjvalt 5322  sshjclt 5328  sshhococ 5451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-chj 5277

metamath.org