Theorem ssiin 2024

Description: Subset theorem for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
ssiin	|- (C (_ |^|x e. A B <-> A.x e. A C (_ B)

Distinct variable group(s):   x,C   x,A

Proof of Theorem ssiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . . 7 |- y e. V
2		eliin 1999	. . . . . . 7 |- (y e. V -> (y e. |^|x e. A B <-> A.x e. A y e. B))
3	1, 2	ax-mp 6	. . . . . 6 |- (y e. |^|x e. A B <-> A.x e. A y e. B)
4	3	imbi2i 160	. . . . 5 |- ((y e. C -> y e. |^|x e. A B) <-> (y e. C -> A.x e. A y e. B))
5		r19.21v 1260	. . . . 5 |- (A.x e. A (y e. C -> y e. B) <-> (y e. C -> A.x e. A y e. B))
6	4, 5	bitr4 154	. . . 4 |- ((y e. C -> y e. |^|x e. A B) <-> A.x e. A (y e. C -> y e. B))
7		df-ral 1205	. . . 4 |- (A.x e. A (y e. C -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
8	6, 7	bitr 151	. . 3 |- ((y e. C -> y e. |^|x e. A B) <-> A.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
9	8	bial 695	. 2 |- (A.y(y e. C -> y e. |^|x e. A B) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
10		dfss2 1497	. 2 |- (C (_ |^|x e. A B <-> A.y(y e. C -> y e. |^|x e. A B))
11		dfss2 1497	. . . 4 |- (C (_ B <-> A.y(y e. C -> y e. B))
12	11	biral 1223	. . 3 |- (A.x e. A C (_ B <-> A.x e. A A.y(y e. C -> y e. B))
13		df-ral 1205	. . 3 |- (A.x e. A A.y(y e. C -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
14		19.21v 942	. . . . 5 |- (A.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> (x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
15	14	bial 695	. . . 4 |- (A.xA.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
16		alcom 715	. . . 4 |- (A.xA.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
17	15, 16	bitr3 153	. . 3 |- (A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
18	12, 13, 17	3bitr 155	. 2 |- (A.x e. A C (_ B <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
19	9, 10, 18	3bitr4 158	1 |- (C (_ |^|x e. A B <-> A.x e. A C (_ B)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127  A.wal 672   e. wcel 1092  A.wral 1201  Vcvv 1348   (_ wss 1487  |^|ciin 1995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iin 1997

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