Theorem ssiun 2018

Description: Subset implication for an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
ssiun	|- (E.x e. A C (_ B -> C (_ U.x e. A B)

Distinct variable group(s):   x,C

Proof of Theorem ssiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1206	. 2 |- (E.x e. A C (_ B <-> E.x(x e. A /\ C (_ B))
2		pm3.35 278	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. C /\ (y e. C -> y e. B)) -> y e. B)
3	2	anim2i 270	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ (y e. C /\ (y e. C -> y e. B))) -> (x e. A /\ y e. B))
4	3	exp32 294	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (y e. C -> ((y e. C -> y e. B) -> (x e. A /\ y e. B))))
5	4	com23 32	. . . . . . 7 |- (x e. A -> ((y e. C -> y e. B) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B))))
6	5	imp 277	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ (y e. C -> y e. B)) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
7		ssel 1502	. . . . . 6 |- (C (_ B -> (y e. C -> y e. B))
8	6, 7	sylan2 346	. . . . 5 |- ((x e. A /\ C (_ B) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
9	8	19.22i 723	. . . 4 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> E.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
10	9	19.21aiv 943	. . 3 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
11		eliun 1998	. . . . . . 7 |- (y e. U.x e. A B <-> E.x e. A y e. B)
12		df-rex 1206	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. B <-> E.x(x e. A /\ y e. B))
13	11, 12	bitr2 152	. . . . . 6 |- (E.x(x e. A /\ y e. B) <-> y e. U.x e. A B)
14	13	imbi2i 160	. . . . 5 |- ((y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)) <-> (y e. C -> y e. U.x e. A B))
15	14	bial 695	. . . 4 |- (A.y(y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)) <-> A.y(y e. C -> y e. U.x e. A B))
16		19.37v 961	. . . . 5 |- (E.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> (y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)))
17	16	bial 695	. . . 4 |- (A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> A.y(y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)))
18		dfss2 1497	. . . 4 |- (C (_ U.x e. A B <-> A.y(y e. C -> y e. U.x e. A B))
19	15, 17, 18	3bitr4 158	. . 3 |- (A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> C (_ U.x e. A B)
20	10, 19	sylib 173	. 2 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> C (_ U.x e. A B)
21	1, 20	sylbi 174	1 |- (E.x e. A C (_ B -> C (_ U.x e. A B)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   e. wcel 1092  E.wrex 1202   (_ wss 1487  U.ciun 1994

This theorem is referenced by:  iunss2 2021  iunpwss 2039  iunpw 2040  oen0 3165  trcl 3489  r1tr 3498

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iun 1996

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