Theorem ssiun2 2019

Description: Identity law for subset of an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
ssiun2	|- (x e. A -> B (_ U.x e. A B)

Proof of Theorem ssiun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ra4e 1244	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. B) -> E.x e. A y e. B)
2		eliun 1998	. . . 4 |- (y e. U.x e. A B <-> E.x e. A y e. B)
3	1, 2	sylibr 175	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. B) -> y e. U.x e. A B)
4	3	exp 291	. 2 |- (x e. A -> (y e. B -> y e. U.x e. A B))
5	4	ssrdv 1509	1 |- (x e. A -> B (_ U.x e. A B)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  E.wrex 1202   (_ wss 1487  U.ciun 1994

This theorem is referenced by:  ssiun2s 2020  r1val1 3502  rankuni 3533  ranklon 3540  cplem1 3545  infxpidmlem5 4937

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iun 1996

metamath.org