Theorem ssopab2 2119

Description: Equivalence of abstraction subclass and implication.

Assertion

Ref	Expression
ssopab2	|- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> A.xA.y(ph -> ps))

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem ssopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2112	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab1 2112	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ps} -> A.x z e. {<.x, y>. | ps})
3	1, 2	hbss 1501	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.x{<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
4		hbopab2 2113	. . . . 5 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
5		hbopab2 2113	. . . . 5 |- (z e. {<.x, y>. | ps} -> A.y z e. {<.x, y>. | ps})
6	4, 5	hbss 1501	. . . 4 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.y{<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
7		opex 1893	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. V
8	7	isseti 1352	. . . . 5 |- E.z z = <.x, y>.
9		copsexg 1902	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
10		copsexg 1902	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (ps <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
11	9, 10	imbi12d 474	. . . . . . . 8 |- (z = <.x, y>. -> ((ph -> ps) <-> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps))))
12		ss2ab 1551	. . . . . . . . 9 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} <-> A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
13		ax-4 673	. . . . . . . . 9 |- (A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
14	12, 13	sylbi 174	. . . . . . . 8 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
15	11, 14	syl5bir 184	. . . . . . 7 |- (z = <.x, y>. -> ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} -> (ph -> ps)))
16		df-opab 2098	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
17		df-opab 2098	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | ps} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)}
18	16, 17	sseq12i 1526	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
19	15, 18	syl5ib 181	. . . . . 6 |- (z = <.x, y>. -> ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps)))
20	19	19.23aiv 952	. . . . 5 |- (E.z z = <.x, y>. -> ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps)))
21	8, 20	ax-mp 6	. . . 4 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps))
22	6, 21	19.21ai 740	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.y(ph -> ps))
23	3, 22	19.21ai 740	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.xA.y(ph -> ps))
24		hba1 698	. . . . . 6 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> A.xA.xA.y(ph -> ps))
25		hba1 698	. . . . . . . 8 |- (A.y(ph -> ps) -> A.yA.y(ph -> ps))
26		ax-4 673	. . . . . . . . 9 |- (A.y(ph -> ps) -> (ph -> ps))
27	26	anim2d 433	. . . . . . . 8 |- (A.y(ph -> ps) -> ((z = <.x, y>. /\ ph) -> (z = <.x, y>. /\ ps)))
28	25, 27	19.22d 744	. . . . . . 7 |- (A.y(ph -> ps) -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
29	28	a4s 682	. . . . . 6 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
30	24, 29	19.22d 744	. . . . 5 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
31	30	19.21aiv 943	. . . 4 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
32	31, 12	sylibr 175	. . 3 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
33	32, 16, 17	3sstr4g 1541	. 2 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> {<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
34	23, 33	impbi 139	1 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> A.xA.y(ph -> ps))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   (_ wss 1487  <.cop 1810  {copab 2055

This theorem is referenced by:  ssopab2i 2120  cnvss 2512  cotr 2625  cnvsym 2626  dffun2 2674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098

metamath.org