Theorem ssorduni 2249

Description: The union of a class of ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.19 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
ssorduni	|- (A (_ On -> Ord U.A)

Proof of Theorem ssorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 2238	. . 3 |- Ord On
2		trssord 2216	. . . 4 |- ((Tr U.A /\ U.A (_ On /\ Ord On) -> Ord U.A)
3	2	3exp 611	. . 3 |- (Tr U.A -> (U.A (_ On -> (Ord On -> Ord U.A)))
4	1, 3	mpii 45	. 2 |- (Tr U.A -> (U.A (_ On -> Ord U.A))
5		ssel 1502	. . . . . . . . 9 |- (A (_ On -> (y e. A -> y e. On))
6		eloni 2209	. . . . . . . . . 10 |- (y e. On -> Ord y)
7		ordtr 2213	. . . . . . . . . 10 |- (Ord y -> Tr y)
8		trss 2050	. . . . . . . . . 10 |- (Tr y -> (x e. y -> x (_ y))
9	6, 7, 8	3syl 21	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> (x e. y -> x (_ y))
10	5, 9	syl6 23	. . . . . . . 8 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x (_ y)))
11		anc2r 249	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> (x e. y -> x (_ y)) -> (y e. A -> (x e. y -> (x (_ y /\ y e. A))))
12	10, 11	syl 12	. . . . . . 7 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> (x (_ y /\ y e. A))))
13		ssuni 1937	. . . . . . 7 |- ((x (_ y /\ y e. A) -> x (_ U.A)
14	12, 13	syl8 25	. . . . . 6 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x (_ U.A)))
15	14	r19.23adv 1286	. . . . 5 |- (A (_ On -> (E.y e. A x e. y -> x (_ U.A))
16		eluni2 1923	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y e. A x e. y)
17	15, 16	syl5ib 181	. . . 4 |- (A (_ On -> (x e. U.A -> x (_ U.A))
18	17	r19.21aiv 1259	. . 3 |- (A (_ On -> A.x e. U. Ax (_ U.A)
19		dftr3 2045	. . 3 |- (Tr U.A <-> A.x e. U. Ax (_ U.A)
20	18, 19	sylibr 175	. 2 |- (A (_ On -> Tr U.A)
21		ordelord 2221	. . . . . . . . 9 |- ((Ord y /\ x e. y) -> Ord x)
22	21	exp 291	. . . . . . . 8 |- (Ord y -> (x e. y -> Ord x))
23		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- x e. V
24	23	elon 2208	. . . . . . . 8 |- (x e. On <-> Ord x)
25	22, 24	syl6ibr 186	. . . . . . 7 |- (Ord y -> (x e. y -> x e. On))
26	6, 25	syl 12	. . . . . 6 |- (y e. On -> (x e. y -> x e. On))
27	5, 26	syl6 23	. . . . 5 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x e. On)))
28	27	r19.23adv 1286	. . . 4 |- (A (_ On -> (E.y e. A x e. y -> x e. On))
29	28, 16	syl5ib 181	. . 3 |- (A (_ On -> (x e. U.A -> x e. On))
30	29	ssrdv 1509	. 2 |- (A (_ On -> U.A (_ On)
31	4, 20, 30	sylc 62	1 |- (A (_ On -> Ord U.A)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   e. wel 803   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   (_ wss 1487  U.cuni 1919  Tr wtr 2041  Ord word 2198  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  onunit 2250  uniord 2252  onsucuni 2335

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org