Theorem stcltrlem1 5709

Description: Lemma for strong classical state theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	|- (ph <-> (S e. States /\ A.x e. CH A.y e. CH (((S` x) = 1 -> (S` y) = 1) -> x (_ y)))
stcltr1.2	|- A e. CH
stcltrlem1.3	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
stcltrlem1	|- (ph -> ((S` B) = 1 -> (S` ((_|_` A) vH (A i^i B))) = 1))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,S,y

Proof of Theorem stcltrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stcltr1.1	. . . . . 6 |- (ph <-> (S e. States /\ A.x e. CH A.y e. CH (((S` x) = 1 -> (S` y) = 1) -> x (_ y)))
2	1	pm3.26bd 259	. . . . 5 |- (ph -> S e. States)
3		stcltr1.2	. . . . . 6 |- A e. CH
4		stcltrlem1.3	. . . . . 6 |- B e. CH
5	3, 4	stji1 5683	. . . . 5 |- (S e. States -> (S` ((_|_` A) vH (A i^i B))) = ((S` (_|_` A)) + (S` (A i^i B))))
6	2, 5	syl 12	. . . 4 |- (ph -> (S` ((_|_` A) vH (A i^i B))) = ((S` (_|_` A)) + (S` (A i^i B))))
7	6	adantr 306	. . 3 |- ((ph /\ (S` B) = 1) -> (S` ((_|_` A) vH (A i^i B))) = ((S` (_|_` A)) + (S` (A i^i B))))
8	1, 4	stcltr2 5708	. . . . . . 7 |- (ph -> ((S` B) = 1 -> B = H~))
9	8	imp 277	. . . . . 6 |- ((ph /\ (S` B) = 1) -> B = H~)
10		ineq2 1639	. . . . . . 7 |- (B = H~ -> (A i^i B) = (A i^i H~))
11	3	chm1 5378	. . . . . . 7 |- (A i^i H~) = A
12	10, 11	syl6eq 1140	. . . . . 6 |- (B = H~ -> (A i^i B) = A)
13	9, 12	syl 12	. . . . 5 |- ((ph /\ (S` B) = 1) -> (A i^i B) = A)
14	13	fveq2d 2836	. . . 4 |- ((ph /\ (S` B) = 1) -> (S` (A i^i B)) = (S` A))
15	14	opreq2d 3013	. . 3 |- ((ph /\ (S` B) = 1) -> ((S` (_|_` A)) + (S` (A i^i B))) = ((S` (_|_` A)) + (S` A)))
16	2	adantr 306	. . . 4 |- ((ph /\ (S` B) = 1) -> S e. States)
17		axaddcom 4070	. . . . . 6 |- (((S` (_|_` A)) e. CC /\ (S` A) e. CC) -> ((S` (_|_` A)) + (S` A)) = ((S` A) + (S` (_|_` A))))
18	3	chocl 5192	. . . . . . . 8 |- (_|_` A) e. CH
19		stclt 5672	. . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((_|_` A) e. CH -> (S` (_|_` A)) e. RR))
20	18, 19	mpi 44	. . . . . . 7 |- (S e. States -> (S` (_|_` A)) e. RR)
21	20	recnd 4099	. . . . . 6 |- (S e. States -> (S` (_|_` A)) e. CC)
22		stclt 5672	. . . . . . . 8 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) e. RR))
23	3, 22	mpi 44	. . . . . . 7 |- (S e. States -> (S` A) e. RR)
24	23	recnd 4099	. . . . . 6 |- (S e. States -> (S` A) e. CC)
25	17, 21, 24	sylanc 361	. . . . 5 |- (S e. States -> ((S` (_|_` A)) + (S` A)) = ((S` A) + (S` (_|_` A))))
26	3	sto1 5677	. . . . 5 |- (S e. States -> ((S` A) + (S` (_|_` A))) = 1)
27	25, 26	eqtrd 1128	. . . 4 |- (S e. States -> ((S` (_|_` A)) + (S` A)) = 1)
28	16, 27	syl 12	. . 3 |- ((ph /\ (S` B) = 1) -> ((S` (_|_` A)) + (S` A)) = 1)
29	7, 15, 28	3eqtrd 1132	. 2 |- ((ph /\ (S` B) = 1) -> (S` ((_|_` A) vH (A i^i B))) = 1)
30	29	exp 291	1 |- (ph -> ((S` B) = 1 -> (S` ((_|_` A) vH (A i^i B))) = 1))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201   i^i cin 1486   (_ wss 1487  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  CCcc 4026  RRcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031  H~chil 4958  CHcch 4968  _|_cort 4969   vH chj 4972  Statescst 4979

This theorem is referenced by:  stcltrlem2 5710

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-st 5670

metamath.org