Theorem stge0t 5673

Description: The value of a state is nonnegative.

Assertion

Ref	Expression
stge0t	|- (S e. States -> (A e. CH -> 0 <_ (S` A)))

Proof of Theorem stge0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stelt 5671	. . . 4 |- (S e. States <-> ((S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)) /\ ((S` H~) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x (_ (_|_` y) -> (S` (x vH y)) = ((S` x) + (S` y))))))
2	1	pm3.26bd 259	. . 3 |- (S e. States -> (S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)))
3	2	pm3.27d 262	. 2 |- (S e. States -> A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1))
4		pm3.26 256	. . 3 |- ((0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1) -> 0 <_ (S` x))
5	4	r19.20si 1254	. 2 |- (A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1) -> A.x e. CH 0 <_ (S` x))
6		fveq2 2832	. . . 4 |- (x = A -> (S` x) = (S` A))
7	6	breq2d 2072	. . 3 |- (x = A -> (0 <_ (S` x) <-> 0 <_ (S` A)))
8	7	rcla4v 1402	. 2 |- (A.x e. CH 0 <_ (S` x) -> (A e. CH -> 0 <_ (S` A)))
9	3, 5, 8	3syl 21	1 |- (S e. States -> (A e. CH -> 0 <_ (S` A)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201   (_ wss 1487   class class class wbr 2054  -->wf 2418  ` cfv 2422  (class class class)co 3001  RRcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   <_ cle 4092  H~chil 4958  CHcch 4968  _|_cort 4969   vH chj 4972  Statescst 4979

This theorem is referenced by:  stle0 5680

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-hilex 4983

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-sh 5114  df-ch 5127  df-st 5670

metamath.org