Theorem sucdom 3648

Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. The proof uses AC and Infinity. It is unclear if a proof without using these is possible, unlike the weaker versions omsucdom 3418, sucdomi 3419, and finsucdom 3421.

Assertion

Ref	Expression
sucdom	|- ((A e. om /\ B e. C) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Proof of Theorem sucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 3475	. . . 4 |- om e. V
2		entri2 3646	. . . 4 |- ((om e. V /\ B e. C) -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
3	1, 2	mpan 518	. . 3 |- (B e. C -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
4	3	adantl 305	. 2 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
5		sdomdomtr 3370	. . . . . . . . 9 |- (B e. C -> ((A ~< om /\ om ~<_ B) -> A ~< B))
6	5	exp3a 292	. . . . . . . 8 |- (B e. C -> (A ~< om -> (om ~<_ B -> A ~< B)))
7	6	imp 277	. . . . . . 7 |- ((B e. C /\ A ~< om) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
8		nnsdom 3481	. . . . . . 7 |- (A e. om -> A ~< om)
9	7, 8	sylan2 346	. . . . . 6 |- ((B e. C /\ A e. om) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
10	9	ancoms 334	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
11		peano2b 2388	. . . . . . . 8 |- (A e. om <-> suc A e. om)
12		nnsdom 3481	. . . . . . . 8 |- (suc A e. om -> suc A ~< om)
13	11, 12	sylbi 174	. . . . . . 7 |- (A e. om -> suc A ~< om)
14		sdomdom 3290	. . . . . . 7 |- (suc A ~< om -> suc A ~<_ om)
15		domtr 3320	. . . . . . . 8 |- ((suc A ~<_ om /\ om ~<_ B) -> suc A ~<_ B)
16	15	exp 291	. . . . . . 7 |- (suc A ~<_ om -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
17	13, 14, 16	3syl 21	. . . . . 6 |- (A e. om -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
18	17	adantr 306	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
19	10, 18	jcad 455	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> (A ~< B /\ suc A ~<_ B)))
20		pm5.1 501	. . . 4 |- ((A ~< B /\ suc A ~<_ B) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
21	19, 20	syl6 23	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
22		finsucdom 3421	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ E.x e. om B ~~ x) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
23	22	exp 291	. . . . 5 |- (A e. om -> (E.x e. om B ~~ x -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
24		isfinite2 3437	. . . . 5 |- (B ~< om -> E.x e. om B ~~ x)
25	23, 24	syl5 22	. . . 4 |- (A e. om -> (B ~< om -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
26	25	adantr 306	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (B ~< om -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
27	21, 26	jaod 329	. 2 |- ((A e. om /\ B e. C) -> ((om ~<_ B \/ B ~< om) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
28	4, 27	mpd 46	1 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196   e. wcel 1092  E.wrex 1202  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  suc csuc 2201  omcom 2372   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272   ~< csdm 3273

This theorem is referenced by:  unxpdomlem 3649

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

metamath.org