Theorem sucel 2296

Description: Membership of a successor in another class.

Assertion

Ref	Expression
sucel	|- (suc A e. B <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem sucel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 1235	. 2 |- (suc A e. B <-> E.x e. B x = suc A)
2		dfcleq 1098	. . . 4 |- (x = suc A <-> A.y(y e. x <-> y e. suc A))
3		visset 1350	. . . . . . 7 |- y e. V
4	3	elsuc 2292	. . . . . 6 |- (y e. suc A <-> (y e. A \/ y = A))
5	4	bibi2i 460	. . . . 5 |- ((y e. x <-> y e. suc A) <-> (y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
6	5	bial 695	. . . 4 |- (A.y(y e. x <-> y e. suc A) <-> A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
7	2, 6	bitr 151	. . 3 |- (x = suc A <-> A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
8	7	birex 1224	. 2 |- (E.x e. B x = suc A <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
9	1, 8	bitr 151	1 |- (suc A e. B <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))

Syntax hints:   <-> wb 127   \/ wo 195  A.wal 672   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  inf4 3473  zfinf 3474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-un 1490  df-sn 1811  df-pr 1812  df-suc 2205

metamath.org