Theorem sucelon 2319

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number.

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- (A e. On <-> suc A e. On)

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 2318	. . 3 |- (Ord A <-> Ord suc A)
2		sucexb 2301	. . 3 |- (A e. V <-> suc A e. V)
3	1, 2	anbi12i 369	. 2 |- ((Ord A /\ A e. V) <-> (Ord suc A /\ suc A e. V))
4		elon2 2210	. 2 |- (A e. On <-> (Ord A /\ A e. V))
5		elon2 2210	. 2 |- (suc A e. On <-> (Ord suc A /\ suc A e. V))
6	3, 4, 5	3bitr4 158	1 |- (A e. On <-> suc A e. On)

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196   e. wcel 1092  Vcvv 1348  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  onsucmin 2323  tfindsg2 2403  rdgsucopabn 2985  2o 3110  oaordi 3148  oalimcl 3162  infensuc 3484  r1val1 3502  rankr1 3518  r1pwcl 3530  alephnbtwn 3674  cfsuc 3709  alephsuc3 4955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205

metamath.org