Theorem sucprc 2297

Description: A proper class is its own successor.

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- (-. A e. V -> suc A = A)

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 1838	. . . 4 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
2		uneq2 1606	. . . 4 |- ({A} = (/) -> (A u. {A}) = (A u. (/)))
3	1, 2	sylbi 174	. . 3 |- (-. A e. V -> (A u. {A}) = (A u. (/)))
4		df-suc 2205	. . 3 |- suc A = (A u. {A})
5	3, 4	syl5eq 1136	. 2 |- (-. A e. V -> suc A = (A u. (/)))
6		un0 1721	. 2 |- (A u. (/)) = A
7	5, 6	syl6eq 1140	1 |- (-. A e. V -> suc A = A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   u. cun 1485  (/)c0 1707  {csn 1808  suc csuc 2201

This theorem is referenced by:  sucon 2298  nsuceq0 2306  trsuc 2308  ordsuc 2318  ordunisuc 2339  sucprcreg 3451  suc11reg 3456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-nul 1708  df-sn 1811  df-suc 2205

metamath.org