Theorem suplem2pr 3956

Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
suplem2pr	|- (A (_ P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))

Distinct variable group(s):   y,z,A

Proof of Theorem suplem2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 3885	. . . . . . 7 |- P. e. V
2	1	ssex 1700	. . . . . 6 |- (A (_ P. -> A e. V)
3		uniexg 1948	. . . . . 6 |- (A e. V -> U.A e. V)
4		ltrelpr 3895	. . . . . . . 8 |- <P (_ (P. X. P.)
5	4	brelg 2458	. . . . . . 7 |- (U.A e. V -> (y <P U.A -> (y e. P. /\ U.A e. P.)))
6		pm3.26 256	. . . . . . 7 |- ((y e. P. /\ U.A e. P.) -> y e. P.)
7	5, 6	syl6 23	. . . . . 6 |- (U.A e. V -> (y <P U.A -> y e. P.))
8	2, 3, 7	3syl 21	. . . . 5 |- (A (_ P. -> (y <P U.A -> y e. P.))
9		ltsopr 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <P Or P.
10		sotric 2148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (( <P Or P. /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> (y <P z <-> -. (y = z \/ z <P y)))
11	9, 10	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y <P z <-> -. (y = z \/ z <P y)))
12	11	bicon2d 404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> ((y = z \/ z <P y) <-> -. y <P z))
13	12	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> ((y = z \/ z <P y) <-> -. y <P z))
14		ltprord 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> (z <P y <-> z (. y))
15	14	orbi2d 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> ((y = z \/ z <P y) <-> (y = z \/ z (. y)))
16		sspss 1569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z (_ y <-> (z (. y \/ z = y))
17		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = y <-> y = z)
18	17	orbi2i 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z (. y \/ z = y) <-> (z (. y \/ y = z))
19		orcom 209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z (. y \/ y = z) <-> (y = z \/ z (. y))
20	16, 18, 19	3bitr 155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z (_ y <-> (y = z \/ z (. y))
21	15, 20	syl6bbr 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> ((y = z \/ z <P y) <-> z (_ y))
22	13, 21	bitr3d 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> (-. y <P z <-> z (_ y))
23		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A (_ P. /\ z e. A) -> z e. P.)
24	22, 23	sylan 343	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A (_ P. /\ z e. A) /\ y e. P.) -> (-. y <P z <-> z (_ y))
25	24	an1rs 373	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A (_ P. /\ y e. P.) /\ z e. A) -> (-. y <P z <-> z (_ y))
26	25	exp 291	. . . . . . . . . . 11 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (z e. A -> (-. y <P z <-> z (_ y)))
27	26	pm5.74d 444	. . . . . . . . . 10 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> ((z e. A -> -. y <P z) <-> (z e. A -> z (_ y)))
28	27	bialdv 935	. . . . . . . . 9 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (A.z(z e. A -> -. y <P z) <-> A.z(z e. A -> z (_ y)))
29		alinexa 724	. . . . . . . . 9 |- (A.z(z e. A -> -. y <P z) <-> -. E.z(z e. A /\ y <P z))
30		unissb 1941	. . . . . . . . . 10 |- (U.A (_ y <-> A.z e. A z (_ y)
31		df-ral 1205	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A z (_ y <-> A.z(z e. A -> z (_ y))
32	30, 31	bitr2 152	. . . . . . . . 9 |- (A.z(z e. A -> z (_ y) <-> U.A (_ y)
33	28, 29, 32	3bitr3g 427	. . . . . . . 8 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (-. E.z(z e. A /\ y <P z) <-> U.A (_ y))
34		ssnpss 1573	. . . . . . . . 9 |- (U.A (_ y -> -. y (. U.A)
35		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
36	35	ssex 1700	. . . . . . . . . 10 |- (U.A (_ y -> U.A e. V)
37		ltprord 3928	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. P. /\ U.A e. P.) -> (y <P U.A <-> y (. U.A))
38	37	biimpd 135	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. P. /\ U.A e. P.) -> (y <P U.A -> y (. U.A))
39	5, 38	syli 52	. . . . . . . . . 10 |- (U.A e. V -> (y <P U.A -> y (. U.A))
40	36, 39	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (U.A (_ y -> (y <P U.A -> y (. U.A))
41	34, 40	mtod 95	. . . . . . . 8 |- (U.A (_ y -> -. y <P U.A)
42	33, 41	syl6bi 187	. . . . . . 7 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (-. E.z(z e. A /\ y <P z) -> -. y <P U.A))
43	42	a3d 70	. . . . . 6 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (y <P U.A -> E.z(z e. A /\ y <P z)))
44	43	exp 291	. . . . 5 |- (A (_ P. -> (y e. P. -> (y <P U.A -> E.z(z e. A /\ y <P z))))
45	8, 44	syld 27	. . . 4 |- (A (_ P. -> (y <P U.A -> (y <P U.A -> E.z(z e. A /\ y <P z))))
46	45	pm2.43d 59	. . 3 |- (A (_ P. -> (y <P U.A -> E.z(z e. A /\ y <P z)))
47		visset 1350	. . . . . . . 8 |- z e. V
48	47, 4	brel 2459	. . . . . . 7 |- (y <P z -> (y e. P. /\ z e. P.))
49	48	pm3.27d 262	. . . . . 6 |- (y <P z -> z e. P.)
50	49	adantl 305	. . . . 5 |- ((z e. A /\ y <P z) -> z e. P.)
51	50	ancri 245	. . . 4 |- ((z e. A /\ y <P z) -> (z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))
52	51	19.22i 723	. . 3 |- (E.z(z e. A /\ y <P z) -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))
53	46, 52	syl6 23	. 2 |- (A (_ P. -> (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))
54		elssuni 1940	. . . 4 |- (y e. A -> y (_ U.A)
55		ssnpss 1573	. . . 4 |- (y (_ U.A -> -. U.A (. y)
56	54, 55	syl 12	. . 3 |- (y e. A -> -. U.A (. y)
57	35, 4	brel 2459	. . . 4 |- (U.A <P y -> (U.A e. P. /\ y e. P.))
58		ltprord 3928	. . . . 5 |- ((U.A e. P. /\ y e. P.) -> (U.A <P y <-> U.A (. y))
59	58	biimpd 135	. . . 4 |- ((U.A e. P. /\ y e. P.) -> (U.A <P y -> U.A (. y))
60	57, 59	mpcom 49	. . 3 |- (U.A <P y -> U.A (. y)
61	56, 60	nsyl 102	. 2 |- (y e. A -> -. U.A <P y)
62	53, 61	jctil 240	1 |- (A (_ P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wcel 1092  A.wral 1201  Vcvv 1348   (_ wss 1487   (. wpss 1488  U.cuni 1919   class class class wbr 2054   Or wor 2059  P.cnp 3779   <P cltp 3783

This theorem is referenced by:  suppr 3957

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880  df-ltp 3884

metamath.org