Theorem supnub 2162

Description: An upper bound is not less than the supremum.

Hypothesis

Ref	Expression
supmo.1	|- R Or A

Assertion

Ref	Expression
supnub	|- (E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> ((C e. A /\ A.z e. B -. CRz) -> -. CRsup(B, A, R)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,R,y,z   x,B,y,z   z,C

Proof of Theorem supnub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmo.1	. . . . . . . 8 |- R Or A
2	1	suplub 2161	. . . . . . 7 |- (E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> ((C e. A /\ CRsup(B, A, R)) -> E.z e. B CRz))
3	2	exp3a 292	. . . . . 6 |- (E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> (C e. A -> (CRsup(B, A, R) -> E.z e. B CRz)))
4	3	imp 277	. . . . 5 |- ((E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) /\ C e. A) -> (CRsup(B, A, R) -> E.z e. B CRz))
5		dfrex2 1212	. . . . 5 |- (E.z e. B CRz <-> -. A.z e. B -. CRz)
6	4, 5	syl6ib 185	. . . 4 |- ((E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) /\ C e. A) -> (CRsup(B, A, R) -> -. A.z e. B -. CRz))
7	6	con2d 83	. . 3 |- ((E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) /\ C e. A) -> (A.z e. B -. CRz -> -. CRsup(B, A, R)))
8	7	exp 291	. 2 |- (E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> (C e. A -> (A.z e. B -. CRz -> -. CRsup(B, A, R))))
9	8	imp3a 279	1 |- (E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> ((C e. A /\ A.z e. B -. CRz) -> -. CRsup(B, A, R)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   class class class wbr 2054   Or wor 2059  supcsup 2060

This theorem is referenced by:  supnubi 2167

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154

metamath.org