Theorem suppr 3957

Description: The union of a non-empty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
suppr	|- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem suppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . 4 |- (x = U.A -> (x e. P. <-> U.A e. P.))
2		breq1 2065	. . . . . . . . 9 |- (x = U.A -> (x <P y <-> U.A <P y))
3	2	negbid 463	. . . . . . . 8 |- (x = U.A -> (-. x <P y <-> -. U.A <P y))
4	3	imbi2d 464	. . . . . . 7 |- (x = U.A -> ((y e. A -> -. x <P y) <-> (y e. A -> -. U.A <P y)))
5		breq2 2066	. . . . . . . 8 |- (x = U.A -> (y <P x <-> y <P U.A))
6	5	imbi1d 465	. . . . . . 7 |- (x = U.A -> ((y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))) <-> (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))
7	4, 6	anbi12d 476	. . . . . 6 |- (x = U.A -> (((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))) <-> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))
8	7	imbi2d 464	. . . . 5 |- (x = U.A -> ((y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))) <-> (y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))
9	8	bialdv 935	. . . 4 |- (x = U.A -> (A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))) <-> A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))
10	1, 9	anbi12d 476	. . 3 |- (x = U.A -> ((x e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))) <-> (U.A e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))))
11	10	cla4egv 1397	. 2 |- (U.A e. P. -> ((U.A e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))) -> E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))))
12		suplem1pr 3955	. 2 |- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> U.A e. P.)
13		suplem2pr 3956	. . . . . 6 |- (A (_ P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))
14	13	a1d 14	. . . . 5 |- (A (_ P. -> (y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))
15	14	19.21aiv 943	. . . 4 |- (A (_ P. -> A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))
16	15	ad2antll 320	. . 3 |- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))))
17	12, 16	jca 236	. 2 |- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> (U.A e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))
18	11, 12, 17	sylc 62	1 |- (((A (_ P. /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> (y e. A -> y <P x)))) -> E.x(x e. P. /\ A.y(y e. P. -> ((y e. A -> -. x <P y) /\ (y <P x -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  (/)c0 1707  U.cuni 1919   class class class wbr 2054  P.cnp 3779   <P cltp 3783

This theorem is referenced by:  suppsr 4016

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880  df-ltp 3884

metamath.org