Theorem suprelem 4053

Description: Mapping of non-empty subset from signed reals to reals.

Hypothesis

Ref	Expression
supre.1	|- B = {w | <.w, 0R>. e. A}

Assertion

Ref	Expression
suprelem	|- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> (B (_ R. /\ -. B = (/)))

Distinct variable group(s):   w,A   w,B

Proof of Theorem suprelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . . 6 |- (A (_ RR -> (<.w, 0R>. e. A -> <.w, 0R>. e. RR))
2		supre.1	. . . . . . 7 |- B = {w | <.w, 0R>. e. A}
3	2	cleqabi 1176	. . . . . 6 |- (w e. B <-> <.w, 0R>. e. A)
4	1, 3	syl5ib 181	. . . . 5 |- (A (_ RR -> (w e. B -> <.w, 0R>. e. RR))
5		opelreal 4043	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. e. RR <-> w e. R.)
6	4, 5	syl6ib 185	. . . 4 |- (A (_ RR -> (w e. B -> w e. R.))
7	6	ssrdv 1509	. . 3 |- (A (_ RR -> B (_ R.)
8	7	adantr 306	. 2 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> B (_ R.)
9		ssel 1502	. . . . . . . 8 |- (A (_ RR -> (x e. A -> x e. RR))
10	9	com12 13	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (A (_ RR -> x e. RR))
11		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. e. A <-> x e. A))
12	11, 3	syl5bb 410	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, 0R>. = x -> (w e. B <-> x e. A))
13	12	biimprcd 138	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (<.w, 0R>. = x -> w e. B))
14		n0i 1712	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. B -> -. B = (/))
15	13, 14	syl6 23	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (<.w, 0R>. = x -> -. B = (/)))
16	15	adantld 307	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> ((w e. R. /\ <.w, 0R>. = x) -> -. B = (/)))
17	16	19.23adv 954	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x) -> -. B = (/)))
18		elreal 4044	. . . . . . . 8 |- (x e. RR <-> E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x))
19	17, 18	syl5ib 181	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (x e. RR -> -. B = (/)))
20	10, 19	syld 27	. . . . . 6 |- (x e. A -> (A (_ RR -> -. B = (/)))
21	20	19.23aiv 952	. . . . 5 |- (E.x x e. A -> (A (_ RR -> -. B = (/)))
22	21	com12 13	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x x e. A -> -. B = (/)))
23		n0 1714	. . . 4 |- (-. A = (/) <-> E.x x e. A)
24	22, 23	syl5ib 181	. . 3 |- (A (_ RR -> (-. A = (/) -> -. B = (/)))
25	24	imp 277	. 2 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> -. B = (/))
26	8, 25	jca 236	1 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> (B (_ R. /\ -. B = (/)))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  (/)c0 1707  <.cop 1810  R.cnr 3787  0Rc0r 3788  RRcr 4027

This theorem is referenced by:  supre 4054

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-enr 3960  df-nr 3961  df-0r 3965  df-r 4038

metamath.org