Theorem symdif2 1690

Description: Two ways of expressing symmetric difference.

Assertion

Ref	Expression
symdif2	|- ((A \ B) u. (B \ A)) = {x | -. (x e. A <-> x e. B)}

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem symdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 1601	. . 3 |- (x e. ((A \ B) u. (B \ A)) <-> (x e. (A \ B) \/ x e. (B \ A)))
2		eldif 1496	. . . . 5 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
3		pm4.13 142	. . . . . 6 |- (x e. A <-> -. -. x e. A)
4	3	anbi1i 368	. . . . 5 |- ((x e. A /\ -. x e. B) <-> (-. -. x e. A /\ -. x e. B))
5	2, 4	bitr 151	. . . 4 |- (x e. (A \ B) <-> (-. -. x e. A /\ -. x e. B))
6		eldif 1496	. . . . 5 |- (x e. (B \ A) <-> (x e. B /\ -. x e. A))
7		ancom 333	. . . . 5 |- ((x e. B /\ -. x e. A) <-> (-. x e. A /\ x e. B))
8	6, 7	bitr 151	. . . 4 |- (x e. (B \ A) <-> (-. x e. A /\ x e. B))
9	5, 8	orbi12i 216	. . 3 |- ((x e. (A \ B) \/ x e. (B \ A)) <-> ((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)))
10		orcom 209	. . . . 5 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> ((-. x e. A /\ x e. B) \/ (-. -. x e. A /\ -. x e. B)))
11		dfbi 499	. . . . 5 |- ((-. x e. A <-> x e. B) <-> ((-. x e. A /\ x e. B) \/ (-. -. x e. A /\ -. x e. B)))
12	10, 11	bitr4 154	. . . 4 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> (-. x e. A <-> x e. B))
13		nbbn 498	. . . 4 |- ((-. x e. A <-> x e. B) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
14	12, 13	bitr 151	. . 3 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
15	1, 9, 14	3bitr 155	. 2 |- (x e. ((A \ B) u. (B \ A)) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
16	15	biabri 1180	1 |- ((A \ B) u. (B \ A)) = {x | -. (x e. A <-> x e. B)}

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127   \/ wo 195   /\ wa 196  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092   \ cdif 1484   u. cun 1485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490

metamath.org