Theorem tfrlem7 2955

Description: Lemma for transfinite recursion. The union of all acceptable functions is a function.

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlem.1	|- A = {f | E.x e. On (f Fn x /\ A.y e. x (f` y) = (G` (f |` y)))}
tfrlem.2	|- F = U.A

Assertion

Ref	Expression
tfrlem7	|- Fun F

Distinct variable group(s):   x,y,f,A   x,F,y,f   x,G,y,f

Proof of Theorem tfrlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlem.1	. . . 4 |- A = {f | E.x e. On (f Fn x /\ A.y e. x (f` y) = (G` (f |` y)))}
2		tfrlem.2	. . . 4 |- F = U.A
3	1, 2	tfrlem6 2954	. . 3 |- Rel F
4	2	eleq2i 1153	. . . . . . . . 9 |- (<.x, u>. e. F <-> <.x, u>. e. U.A)
5		eluni 1922	. . . . . . . . 9 |- (<.x, u>. e. U.A <-> E.g(<.x, u>. e. g /\ g e. A))
6	4, 5	bitr 151	. . . . . . . 8 |- (<.x, u>. e. F <-> E.g(<.x, u>. e. g /\ g e. A))
7	2	eleq2i 1153	. . . . . . . . 9 |- (<.x, v>. e. F <-> <.x, v>. e. U.A)
8		eluni 1922	. . . . . . . . 9 |- (<.x, v>. e. U.A <-> E.h(<.x, v>. e. h /\ h e. A))
9	7, 8	bitr 151	. . . . . . . 8 |- (<.x, v>. e. F <-> E.h(<.x, v>. e. h /\ h e. A))
10	6, 9	anbi12i 369	. . . . . . 7 |- ((<.x, u>. e. F /\ <.x, v>. e. F) <-> (E.g(<.x, u>. e. g /\ g e. A) /\ E.h(<.x, v>. e. h /\ h e. A)))
11		eeanv 980	. . . . . . 7 |- (E.gE.h((<.x, u>. e. g /\ g e. A) /\ (<.x, v>. e. h /\ h e. A)) <-> (E.g(<.x, u>. e. g /\ g e. A) /\ E.h(<.x, v>. e. h /\ h e. A)))
12	10, 11	bitr4 154	. . . . . 6 |- ((<.x, u>. e. F /\ <.x, v>. e. F) <-> E.gE.h((<.x, u>. e. g /\ g e. A) /\ (<.x, v>. e. h /\ h e. A)))
13		an4 388	. . . . . . . . 9 |- (((<.x, u>. e. g /\ g e. A) /\ (<.x, v>. e. h /\ h e. A)) <-> ((<.x, u>. e. g /\ <.x, v>. e. h) /\ (g e. A /\ h e. A)))
14		ancom 333	. . . . . . . . 9 |- (((<.x, u>. e. g /\ <.x, v>. e. h) /\ (g e. A /\ h e. A)) <-> ((g e. A /\ h e. A) /\ (<.x, u>. e. g /\ <.x, v>. e. h)))
15	13, 14	bitr 151	. . . . . . . 8 |- (((<.x, u>. e. g /\ g e. A) /\ (<.x, v>. e. h /\ h e. A)) <-> ((g e. A /\ h e. A) /\ (<.x, u>. e. g /\ <.x, v>. e. h)))
16	1, 2	tfrlem5 2953	. . . . . . . . 9 |- ((g e. A /\ h e. A) -> ((<.x, u>. e. g /\ <.x, v>. e. h) -> u = v))
17	16	imp 277	. . . . . . . 8 |- (((g e. A /\ h e. A) /\ (<.x, u>. e. g /\ <.x, v>. e. h)) -> u = v)
18	15, 17	sylbi 174	. . . . . . 7 |- (((<.x, u>. e. g /\ g e. A) /\ (<.x, v>. e. h /\ h e. A)) -> u = v)
19	18	19.23aivv 953	. . . . . 6 |- (E.gE.h((<.x, u>. e. g /\ g e. A) /\ (<.x, v>. e. h /\ h e. A)) -> u = v)
20	12, 19	sylbi 174	. . . . 5 |- ((<.x, u>. e. F /\ <.x, v>. e. F) -> u = v)
21	20	ax-gen 677	. . . 4 |- A.v((<.x, u>. e. F /\ <.x, v>. e. F) -> u = v)
22	21	gen2 681	. . 3 |- A.xA.uA.v((<.x, u>. e. F /\ <.x, v>. e. F) -> u = v)
23	3, 22	pm3.2i 234	. 2 |- (Rel F /\ A.xA.uA.v((<.x, u>. e. F /\ <.x, v>. e. F) -> u = v))
24		dffun4 2676	. 2 |- (Fun F <-> (Rel F /\ A.xA.uA.v((<.x, u>. e. F /\ <.x, v>. e. F) -> u = v)))
25	23, 24	mpbir 165	1 |- Fun F

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  <.cop 1810  U.cuni 1919  Oncon0 2199   |` cres 2412  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416   Fn wfn 2417  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  tfrlem9 2957  tfrlem10 2958  tfr1 2962  numthlem 3598  zornlem1 3603  zornlem2 3604  zornlem5 3607  zornlem7 3609

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org