Theorem tz6.12f 2844

Description: Function value requiring only that y not be 'free' in F (but not necessarily absent from it).

Hypothesis

Ref	Expression
tz6.12f.1	|- (w e. F -> A.y w e. F)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12f	|- ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)

Distinct variable group(s):   x,y,w   w,F

Proof of Theorem tz6.12f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 925	. 2 |- (((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y) -> A.z((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y))
2		opeq2 1877	. . . . 5 |- (z = y -> <.x, z>. = <.x, y>.)
3	2	eleq1d 1155	. . . 4 |- (z = y -> (<.x, z>. e. F <-> <.x, y>. e. F))
4		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (w e. <.x, z>. -> A.y w e. <.x, z>.)
5		tz6.12f.1	. . . . . . 7 |- (w e. F -> A.y w e. F)
6	4, 5	hbel 1172	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. F -> A.y<.x, z>. e. F)
7		ax-17 925	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. F -> A.z<.x, y>. e. F)
8	6, 7, 3	cbveu 1018	. . . . 5 |- (E!z<.x, z>. e. F <-> E!y<.x, y>. e. F)
9	8	a1i 7	. . . 4 |- (z = y -> (E!z<.x, z>. e. F <-> E!y<.x, y>. e. F))
10	3, 9	anbi12d 476	. . 3 |- (z = y -> ((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) <-> (<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F)))
11		cleq2 1110	. . 3 |- (z = y -> ((F` x) = z <-> (F` x) = y))
12	10, 11	imbi12d 474	. 2 |- (z = y -> (((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) -> (F` x) = z) <-> ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)))
13		visset 1350	. . 3 |- x e. V
14	13	tz6.12 2843	. 2 |- ((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) -> (F` x) = z)
15	1, 12, 14	chv2 850	1 |- ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672   = weq 797  E!weu 1007   = wceq 1091   e. wcel 1092  <.cop 1810  ` cfv 2422

This theorem is referenced by:  fvopab2 2878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438

metamath.org