Theorem tz9.1 3490

Description: Every set has a transitive closure (smallest transitive extension). Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73. See trcl 3489 for an explicit expression for the transitive closure.

Hypothesis

Ref	Expression
tz9.1.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
tz9.1	|- E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y))

Distinct variable group(s):   x,A,y

Proof of Theorem tz9.1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.1.1	. . 3 |- A e. V
2		cleqid 1102	. . 3 |- (rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om) = (rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)
3		cleqid 1102	. . 3 |- U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) = U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)
4	1, 2, 3	trcl 3489	. 2 |- (A (_ U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))
5		omex 3475	. . . 4 |- om e. V
6		fvex 2838	. . . 4 |- ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) e. V
7	5, 6	iunex 2914	. . 3 |- U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) e. V
8		sseq2 1522	. . . 4 |- (x = U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (A (_ x <-> A (_ U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)))
9		treq 2047	. . . 4 |- (x = U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (Tr x <-> Tr U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)))
10		sseq1 1521	. . . . . 6 |- (x = U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (x (_ y <-> U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))
11	10	imbi2d 464	. . . . 5 |- (x = U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y) <-> ((A (_ y /\ Tr y) -> U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)))
12	11	bialdv 935	. . . 4 |- (x = U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y) <-> A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)))
13	8, 9, 12	bi3and 636	. . 3 |- (x = U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> ((A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y)) <-> (A (_ U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))))
14	7, 13	cla4ev 1401	. 2 |- ((A (_ U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U.z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)) -> E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y)))
15	4, 14	ax-mp 6	1 |- E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   /\ w3a 581  A.wal 672  E.wex 678   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   u. cun 1485   (_ wss 1487  U.cuni 1919  U.ciun 1994  Tr wtr 2041  {copab 2055  omcom 2372   |` cres 2412  ` cfv 2422  reccrdg 2969

This theorem is referenced by:  zfregs 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org