Theorem tz9.12lem2 3504

Description: Lemma for tz9.12 3506.

Hypotheses

Ref	Expression
tz9.12lem.1	|- A e. V
tz9.12lem.2	|- F = {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}}

Assertion

Ref	Expression
tz9.12lem2	|- suc U.(F"A) e. On

Distinct variable group(s):   z,w,v,A

Proof of Theorem tz9.12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.12lem.1	. . . 4 |- A e. V
2		tz9.12lem.2	. . . 4 |- F = {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}}
3	1, 2	tz9.12lem1 3503	. . 3 |- (F"A) (_ On
4		funopabeq 2695	. . . . . 6 |- Fun {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}}
5		funeq 2683	. . . . . . 7 |- (F = {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}} -> (Fun F <-> Fun {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}}))
6	2, 5	ax-mp 6	. . . . . 6 |- (Fun F <-> Fun {<.z, w>. | w = |^|{v e. On | z e. (R1` v)}})
7	4, 6	mpbir 165	. . . . 5 |- Fun F
8	1	funimaex 2716	. . . . 5 |- (Fun F -> (F"A) e. V)
9	7, 8	ax-mp 6	. . . 4 |- (F"A) e. V
10	9	onuni 2251	. . 3 |- ((F"A) (_ On -> U.(F"A) e. On)
11	3, 10	ax-mp 6	. 2 |- U.(F"A) e. On
12	11	onsuc 2353	1 |- suc U.(F"A) e. On

Syntax hints:   <-> wb 127   = wceq 1091   e. wcel 1092  {crab 1204  Vcvv 1348   (_ wss 1487  U.cuni 1919  |^|cint 1965  {copab 2055  Oncon0 2199  suc csuc 2201  "cima 2413  Fun wfun 2416  ` cfv 2422  R1cr1 3485

This theorem is referenced by:  tz9.12lem3 3505  tz9.12 3506

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432

metamath.org