Theorem unblem2 3432

Description: Lemma for unbnn 3435. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem2	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . . 4 |- (z = (/) -> (F` z) = (F` (/)))
2	1	eleq1d 1155	. . 3 |- (z = (/) -> ((F` z) e. A <-> (F` (/)) e. A))
3		fveq2 2832	. . . 4 |- (z = u -> (F` z) = (F` u))
4	3	eleq1d 1155	. . 3 |- (z = u -> ((F` z) e. A <-> (F` u) e. A))
5		fveq2 2832	. . . 4 |- (z = suc u -> (F` z) = (F` suc u))
6	5	eleq1d 1155	. . 3 |- (z = suc u -> ((F` z) e. A <-> (F` suc u) e. A))
7		onint 2261	. . . . 5 |- ((A (_ On /\ -. A = (/)) -> |^|A e. A)
8		omsson 2377	. . . . . 6 |- om (_ On
9		sstr 1511	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
10	8, 9	mpan2 519	. . . . 5 |- (A (_ om -> A (_ On)
11		peano1 2390	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
12		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 |- (w = (/) -> (w e. v <-> (/) e. v))
13	12	birexdv 1220	. . . . . . . . . 10 |- (w = (/) -> (E.v e. A w e. v <-> E.v e. A (/) e. v))
14	13	rcla4v 1402	. . . . . . . . 9 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> ((/) e. om -> E.v e. A (/) e. v))
15	11, 14	mpi 44	. . . . . . . 8 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v e. A (/) e. v)
16		df-rex 1206	. . . . . . . 8 |- (E.v e. A (/) e. v <-> E.v(v e. A /\ (/) e. v))
17	15, 16	sylib 173	. . . . . . 7 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v(v e. A /\ (/) e. v))
18		pm3.26 256	. . . . . . . 8 |- ((v e. A /\ (/) e. v) -> v e. A)
19	18	19.22i 723	. . . . . . 7 |- (E.v(v e. A /\ (/) e. v) -> E.v v e. A)
20	17, 19	syl 12	. . . . . 6 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v v e. A)
21		n0 1714	. . . . . 6 |- (-. A = (/) <-> E.v v e. A)
22	20, 21	sylibr 175	. . . . 5 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> -. A = (/))
23	7, 10, 22	syl2an 349	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> |^|A e. A)
24		frzer 2990	. . . . . . 7 |- (|^|A e. A -> ((rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)` (/)) = |^|A)
25		unblem.2	. . . . . . . 8 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
26	25	fveq1i 2833	. . . . . . 7 |- (F` (/)) = ((rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)` (/))
27	24, 26	syl5req 1137	. . . . . 6 |- (|^|A e. A -> |^|A = (F` (/)))
28	27	eleq1d 1155	. . . . 5 |- (|^|A e. A -> (|^|A e. A <-> (F` (/)) e. A))
29	28	ibi 449	. . . 4 |- (|^|A e. A -> (F` (/)) e. A)
30	23, 29	syl 12	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (F` (/)) e. A)
31		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 |- (w e. |^|A -> A.x w e. |^|A)
32		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 |- (w e. u -> A.x w e. u)
33		ax-17 925	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. A -> A.x w e. A)
34		unblem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. F -> A.x w e. F)
35	34, 32	hbfv 2837	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. (F` u) -> A.x w e. (F` u))
36	35	hbsuc 2294	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. suc (F` u) -> A.x w e. suc (F` u))
37	33, 36	hbdif 1590	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. (A \ suc (F` u)) -> A.x w e. (A \ suc (F` u)))
38	37	hbint 1975	. . . . . . . . . 10 |- (w e. |^|(A \ suc (F` u)) -> A.x w e. |^|(A \ suc (F` u)))
39		suceq 2288	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (F` u) -> suc x = suc (F` u))
40	39	difeq2d 1588	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (F` u) -> (A \ suc x) = (A \ suc (F` u)))
41	40	inteqd 1970	. . . . . . . . . 10 |- (x = (F` u) -> |^|(A \ suc x) = |^|(A \ suc (F` u)))
42	31, 32, 38, 25, 41	frsucopab 2992	. . . . . . . . 9 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> (F` suc u) = |^|(A \ suc (F` u)))
43	42	cleqcomd 1106	. . . . . . . 8 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> |^|(A \ suc (F` u)) = (F` suc u))
44	43	eleq1d 1155	. . . . . . 7 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A <-> (F` suc u) e. A))
45	44	exp 291	. . . . . 6 |- (u e. om -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A <-> (F` suc u) e. A)))
46	45	ibd 451	. . . . 5 |- (u e. om -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A -> (F` suc u) e. A))
47		unblem1 3431	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` u) e. A) -> |^|(A \ suc (F` u)) e. A)
48	46, 47	syl5 22	. . . 4 |- (u e. om -> (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` u) e. A) -> (F` suc u) e. A))
49	48	exp3a 292	. . 3 |- (u e. om -> ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> ((F` u) e. A -> (F` suc u) e. A)))
50	2, 4, 6, 30, 49	finds2 2399	. 2 |- (z e. om -> ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (F` z) e. A))
51	50	com12 13	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   = weq 797   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   \ cdif 1484   (_ wss 1487  (/)c0 1707  |^|cint 1965  {copab 2055  Oncon0 2199  suc csuc 2201  omcom 2372   |` cres 2412  ` cfv 2422  reccrdg 2969

This theorem is referenced by:  unblem3 3433  unblem4 3434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org