Theorem unblem3 3433

Description: Lemma for unbnn 3435. The value of the function F is less than its value at a successor.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem3	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unblem.1	. . . . . . 7 |- (w e. F -> A.x w e. F)
2		unblem.2	. . . . . . 7 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
3	1, 2	unblem2 3432	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))
4	3	imp 277	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. A)
5		omsson 2377	. . . . . . . 8 |- om (_ On
6		sstr 1511	. . . . . . . 8 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
7	5, 6	mpan2 519	. . . . . . 7 |- (A (_ om -> A (_ On)
8		ssel 1502	. . . . . . . 8 |- (A (_ On -> ((F` z) e. A -> (F` z) e. On))
9	8	anc2li 250	. . . . . . 7 |- (A (_ On -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
10	7, 9	syl 12	. . . . . 6 |- (A (_ om -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
11	10	ad2antll 320	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
12	4, 11	mpd 46	. . . 4 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (A (_ On /\ (F` z) e. On))
13		onmindif 2312	. . . 4 |- ((A (_ On /\ (F` z) e. On) -> (F` z) e. |^|(A \ suc (F` z)))
14	12, 13	syl 12	. . 3 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. |^|(A \ suc (F` z)))
15		unblem1 3431	. . . . . . 7 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` z) e. A) -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A)
16	15	exp 291	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> ((F` z) e. A -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A))
17	3, 16	syld 27	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A))
18		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (w e. |^|A -> A.x w e. |^|A)
19		ax-17 925	. . . . . . 7 |- (w e. z -> A.x w e. z)
20		ax-17 925	. . . . . . . . 9 |- (w e. A -> A.x w e. A)
21	1, 19	hbfv 2837	. . . . . . . . . 10 |- (w e. (F` z) -> A.x w e. (F` z))
22	21	hbsuc 2294	. . . . . . . . 9 |- (w e. suc (F` z) -> A.x w e. suc (F` z))
23	20, 22	hbdif 1590	. . . . . . . 8 |- (w e. (A \ suc (F` z)) -> A.x w e. (A \ suc (F` z)))
24	23	hbint 1975	. . . . . . 7 |- (w e. |^|(A \ suc (F` z)) -> A.x w e. |^|(A \ suc (F` z)))
25		suceq 2288	. . . . . . . . 9 |- (x = (F` z) -> suc x = suc (F` z))
26	25	difeq2d 1588	. . . . . . . 8 |- (x = (F` z) -> (A \ suc x) = (A \ suc (F` z)))
27	26	inteqd 1970	. . . . . . 7 |- (x = (F` z) -> |^|(A \ suc x) = |^|(A \ suc (F` z)))
28	18, 19, 24, 2, 27	frsucopab 2992	. . . . . 6 |- ((z e. om /\ |^|(A \ suc (F` z)) e. A) -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z)))
29	28	exp 291	. . . . 5 |- (z e. om -> (|^|(A \ suc (F` z)) e. A -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z))))
30	17, 29	sylcom 51	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z))))
31	30	imp 277	. . 3 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z)))
32	14, 31	eleqtrrd 1166	. 2 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. (F` suc z))
33	32	exp 291	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  A.wal 672   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   \ cdif 1484   (_ wss 1487  |^|cint 1965  {copab 2055  Oncon0 2199  suc csuc 2201  omcom 2372   |` cres 2412  ` cfv 2422  reccrdg 2969

This theorem is referenced by:  unblem4 3434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org