Theorem unblem4 3434

Description: Lemma for unbnn 3435. The function F maps the set of natural numbers one-to-one to set of unbounded natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem4	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-1-1->A)

Distinct variable group(s):   x,y,w,v,A   w,F,v

Proof of Theorem unblem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmo 3196	. 2 |- (((A (_ On /\ F:om-->A) /\ A.z e. om (F` z) e. (F` suc z)) -> F:om-1-1->A)
2		omsson 2377	. . . . 5 |- om (_ On
3		sstr 1511	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
4	2, 3	mpan2 519	. . . 4 |- (A (_ om -> A (_ On)
5	4	adantr 306	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A (_ On)
6		unblem.1	. . . . . 6 |- (w e. F -> A.x w e. F)
7		unblem.2	. . . . . 6 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
8	6, 7	unblem2 3432	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))
9	8	r19.21aiv 1259	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A.z e. om (F` z) e. A)
10		frfnom 2989	. . . . . 6 |- (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om
11		fneq1 2718	. . . . . . 7 |- (F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) -> (F Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om))
12	7, 11	ax-mp 6	. . . . . 6 |- (F Fn om <-> (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om) Fn om)
13	10, 12	mpbir 165	. . . . 5 |- F Fn om
14		ffnfv 2892	. . . . . 6 |- (F:om-->A <-> (F Fn om /\ A.z e. om (F` z) e. A))
15	14	biimpr 134	. . . . 5 |- ((F Fn om /\ A.z e. om (F` z) e. A) -> F:om-->A)
16	13, 15	mpan 518	. . . 4 |- (A.z e. om (F` z) e. A -> F:om-->A)
17	9, 16	syl 12	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-->A)
18	5, 17	jca 236	. 2 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (A (_ On /\ F:om-->A))
19	6, 7	unblem3 3433	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))
20	19	r19.21aiv 1259	. 2 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> A.z e. om (F` z) e. (F` suc z))
21	1, 18, 20	sylanc 361	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> F:om-1-1->A)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   \ cdif 1484   (_ wss 1487  |^|cint 1965  {copab 2055  Oncon0 2199  suc csuc 2201  omcom 2372   |` cres 2412   Fn wfn 2417  -->wf 2418  -1-1->wf1 2419  ` cfv 2422  reccrdg 2969

This theorem is referenced by:  unbnn 3435

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org