Theorem unbndrank 3527

Description: The elements of a proper class have unbounded rank. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
unbndrank	|- (-. A e. V -> A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem unbndrank

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 3515	. . . . . . . 8 |- (rank` y) e. On
2		ontri1 2232	. . . . . . . 8 |- (((rank` y) e. On /\ x e. On) -> ((rank` y) (_ x <-> -. x e. (rank` y)))
3	1, 2	mpan 518	. . . . . . 7 |- (x e. On -> ((rank` y) (_ x <-> -. x e. (rank` y)))
4	3	biraldv 1219	. . . . . 6 |- (x e. On -> (A.y e. A (rank` y) (_ x <-> A.y e. A -. x e. (rank` y)))
5		ralnex 1209	. . . . . 6 |- (A.y e. A -. x e. (rank` y) <-> -. E.y e. A x e. (rank` y))
6	4, 5	syl6bb 414	. . . . 5 |- (x e. On -> (A.y e. A (rank` y) (_ x <-> -. E.y e. A x e. (rank` y)))
7	6	birexa 1229	. . . 4 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x <-> E.x e. On -. E.y e. A x e. (rank` y))
8		rexnal 1210	. . . 4 |- (E.x e. On -. E.y e. A x e. (rank` y) <-> -. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))
9	7, 8	bitr 151	. . 3 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x <-> -. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))
10		bndrank 3526	. . 3 |- (E.x e. On A.y e. A (rank` y) (_ x -> A e. V)
11	9, 10	sylbir 176	. 2 |- (-. A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y) -> A e. V)
12	11	con1i 88	1 |- (-. A e. V -> A.x e. On E.y e. A x e. (rank` y))

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202  Vcvv 1348   (_ wss 1487  Oncon0 2199  ` cfv 2422  rankcrnk 3486

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org