Theorem uncdadom 3718

Description: Cardinal addition dominates union.

Hypotheses

Ref	Expression
cdaval.1	|- A e. V
cdaval.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
uncdadom	|- (A u. B) ~<_ (A +c B)

Proof of Theorem uncdadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdaval.1	. . . . . 6 |- A e. V
2		0ex 1745	. . . . . . 7 |- (/) e. V
3	1, 2	xpsnen 3339	. . . . . 6 |- (A X. {(/)}) ~~ A
4	1, 3	ensymi 3318	. . . . 5 |- A ~~ (A X. {(/)})
5		endom 3289	. . . . 5 |- (A ~~ (A X. {(/)}) -> A ~<_ (A X. {(/)}))
6	4, 5	ax-mp 6	. . . 4 |- A ~<_ (A X. {(/)})
7		cdaval.2	. . . . . 6 |- B e. V
8		1o 3109	. . . . . . . 8 |- 1o e. On
9	8	elisseti 1355	. . . . . . 7 |- 1o e. V
10	7, 9	xpsnen 3339	. . . . . 6 |- (B X. {1o}) ~~ B
11	7, 10	ensymi 3318	. . . . 5 |- B ~~ (B X. {1o})
12		endom 3289	. . . . 5 |- (B ~~ (B X. {1o}) -> B ~<_ (B X. {1o}))
13	11, 12	ax-mp 6	. . . 4 |- B ~<_ (B X. {1o})
14	6, 13	pm3.2i 234	. . 3 |- (A ~<_ (A X. {(/)}) /\ B ~<_ (B X. {1o}))
15		0ne1oOLD 3113	. . . 4 |- -. (/) = 1o
16		xpsndisj 2655	. . . 4 |- (-. (/) = 1o -> ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/))
17	15, 16	ax-mp 6	. . 3 |- ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)
18		p0ex 1885	. . . . 5 |- {(/)} e. V
19	1, 18	xpex 2488	. . . 4 |- (A X. {(/)}) e. V
20		snex 1859	. . . . 5 |- {1o} e. V
21	7, 20	xpex 2488	. . . 4 |- (B X. {1o}) e. V
22	19, 7, 21	undom 3342	. . 3 |- (((A ~<_ (A X. {(/)}) /\ B ~<_ (B X. {1o})) /\ ((A X. {(/)}) i^i (B X. {1o})) = (/)) -> (A u. B) ~<_ ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o})))
23	14, 17, 22	mp2an 520	. 2 |- (A u. B) ~<_ ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
24	1, 7	cdaval 3717	. 2 |- (A +c B) = ((A X. {(/)}) u. (B X. {1o}))
25	23, 24	breqtrr 2082	1 |- (A u. B) ~<_ (A +c B)

Syntax hints:  -. wn 1   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   u. cun 1485   i^i cin 1486  (/)c0 1707  {csn 1808   class class class wbr 2054  Oncon0 2199   X. cxp 2408  (class class class)co 3001  1oc1o 3099   ~~ cen 3271   ~<_ cdom 3272   +c ccda 3714

This theorem is referenced by:  cdadom3 3729  infunabs 4946  infdif 4948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-cda 3715

metamath.org