Theorem uncom 1604

Description: Commutative law for union of classes. Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 17.

Assertion

Ref	Expression
uncom	|- (A u. B) = (B u. A)

Proof of Theorem uncom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 209	. . 3 |- ((x e. A \/ x e. B) <-> (x e. B \/ x e. A))
2		elun 1601	. . 3 |- (x e. (A u. B) <-> (x e. A \/ x e. B))
3		elun 1601	. . 3 |- (x e. (B u. A) <-> (x e. B \/ x e. A))
4	1, 2, 3	3bitr4 158	. 2 |- (x e. (A u. B) <-> x e. (B u. A))
5	4	cleqri 1101	1 |- (A u. B) = (B u. A)

Syntax hints:   \/ wo 195   = wceq 1091   e. wcel 1092   u. cun 1485

This theorem is referenced by:  uneq2 1606  un12 1616  un23 1617  ssun2 1622  unss2 1629  ssequn2 1631  undir 1679  unineq 1680  dif23 1688  disjpss 1738  undif1 1761  undif2 1762  prprc 1839  prcom 1840  unidif0 1944  df1o2 3111  dfdom2 3288  mapunen 3397  limensuci 3401  phplem2 3404  pssnn 3428  cdacomen 3724  fac0 4871  ruclem6 4890  shjcomt 5331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-un 1490

metamath.org