Theorem unexb 1950

Description: Existence of union is equivalent to existence of its components.

Assertion

Ref	Expression
unexb	|- ((A e. V /\ B e. V) <-> (A u. B) e. V)

Proof of Theorem unexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq1 1605	. . . 4 |- (x = A -> (x u. y) = (A u. y))
2	1	eleq1d 1155	. . 3 |- (x = A -> ((x u. y) e. V <-> (A u. y) e. V))
3		uneq2 1606	. . . 4 |- (y = B -> (A u. y) = (A u. B))
4	3	eleq1d 1155	. . 3 |- (y = B -> ((A u. y) e. V <-> (A u. B) e. V))
5		visset 1350	. . . 4 |- x e. V
6		visset 1350	. . . 4 |- y e. V
7	5, 6	unex 1949	. . 3 |- (x u. y) e. V
8	2, 4, 7	vtocl2g 1386	. 2 |- ((A e. V /\ B e. V) -> (A u. B) e. V)
9		ssun1 1621	. . . 4 |- A (_ (A u. B)
10		ssexg 1702	. . . 4 |- ((A u. B) e. V -> (A (_ (A u. B) -> A e. V))
11	9, 10	mpi 44	. . 3 |- ((A u. B) e. V -> A e. V)
12		ssun2 1622	. . . 4 |- B (_ (A u. B)
13		ssexg 1702	. . . 4 |- ((A u. B) e. V -> (B (_ (A u. B) -> B e. V))
14	12, 13	mpi 44	. . 3 |- ((A u. B) e. V -> B e. V)
15	11, 14	jca 236	. 2 |- ((A u. B) e. V -> (A e. V /\ B e. V))
16	8, 15	impbi 139	1 |- ((A e. V /\ B e. V) <-> (A u. B) e. V)

Syntax hints:   <-> wb 127   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  Vcvv 1348   u. cun 1485   (_ wss 1487

This theorem is referenced by:  difex2 1951  sucexb 2301  unen 3338  alephprc 3698  cdavalt 3716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-uni 1920

metamath.org