Theorem unfi 3441

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144.

Assertion

Ref	Expression
unfi	|- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.x e. om B ~~ x) -> E.x e. om (A u. B) ~~ x)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem unfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 1316	. . . 4 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) <-> (E.x e. om A ~~ x /\ E.y e. om (B \ A) ~~ y))
2		undif2 1762	. . . . . . . . . 10 |- (A u. (B \ A)) = (A u. B)
3	2	a1i 7	. . . . . . . . 9 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (A u. (B \ A)) = (A u. B))
4		nnaword1 3186	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om /\ y e. om) -> x (_ (x +o y))
5		ssundif 1764	. . . . . . . . . 10 |- (x (_ (x +o y) <-> (x u. ((x +o y) \ x)) = (x +o y))
6	4, 5	sylib 173	. . . . . . . . 9 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (x u. ((x +o y) \ x)) = (x +o y))
7	3, 6	breq12d 2073	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)) <-> (A u. B) ~~ (x +o y)))
8		difdisj 1758	. . . . . . . . . 10 |- (A i^i (B \ A)) = (/)
9		difdisj 1758	. . . . . . . . . 10 |- (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/)
10	8, 9	pm3.2i 234	. . . . . . . . 9 |- ((A i^i (B \ A)) = (/) /\ (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/))
11		unen 3338	. . . . . . . . 9 |- (((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) /\ ((A i^i (B \ A)) = (/) /\ (x i^i ((x +o y) \ x)) = (/))) -> (A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)))
12	10, 11	mpan2 519	. . . . . . . 8 |- ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) -> (A u. (B \ A)) ~~ (x u. ((x +o y) \ x)))
13	7, 12	syl5bi 183	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)) -> (A u. B) ~~ (x +o y)))
14		unfilem3 3440	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ y e. om) -> y ~~ ((x +o y) \ x))
15		entrt 3319	. . . . . . . . . 10 |- (((B \ A) ~~ y /\ y ~~ ((x +o y) \ x)) -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x))
16	15	ancoms 334	. . . . . . . . 9 |- ((y ~~ ((x +o y) \ x) /\ (B \ A) ~~ y) -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x))
17	16	exp 291	. . . . . . . 8 |- (y ~~ ((x +o y) \ x) -> ((B \ A) ~~ y -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)))
18	14, 17	syl 12	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((B \ A) ~~ y -> (B \ A) ~~ ((x +o y) \ x)))
19	13, 18	sylan2d 353	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> (A u. B) ~~ (x +o y)))
20		nnacl 3172	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ y e. om) -> (x +o y) e. om)
21		breq2 2066	. . . . . . . . 9 |- (z = (x +o y) -> ((A u. B) ~~ z <-> (A u. B) ~~ (x +o y)))
22	21	rcla4ev 1403	. . . . . . . 8 |- (((x +o y) e. om /\ (A u. B) ~~ (x +o y)) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
23	22	exp 291	. . . . . . 7 |- ((x +o y) e. om -> ((A u. B) ~~ (x +o y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z))
24	20, 23	syl 12	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A u. B) ~~ (x +o y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z))
25	19, 24	syld 27	. . . . 5 |- ((x e. om /\ y e. om) -> ((A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z))
26	25	r19.23aivv 1287	. . . 4 |- (E.x e. om E.y e. om (A ~~ x /\ (B \ A) ~~ y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
27	1, 26	sylbir 176	. . 3 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.y e. om (B \ A) ~~ y) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
28		breq2 2066	. . . . 5 |- (x = y -> (B ~~ x <-> B ~~ y))
29	28	cbvrexv 1334	. . . 4 |- (E.x e. om B ~~ x <-> E.y e. om B ~~ y)
30		difss 1596	. . . . 5 |- (B \ A) (_ B
31		ssfi 3430	. . . . 5 |- ((E.y e. om B ~~ y /\ (B \ A) (_ B) -> E.y e. om (B \ A) ~~ y)
32	30, 31	mpan2 519	. . . 4 |- (E.y e. om B ~~ y -> E.y e. om (B \ A) ~~ y)
33	29, 32	sylbi 174	. . 3 |- (E.x e. om B ~~ x -> E.y e. om (B \ A) ~~ y)
34	27, 33	sylan2 346	. 2 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.x e. om B ~~ x) -> E.z e. om (A u. B) ~~ z)
35		breq2 2066	. . 3 |- (z = x -> ((A u. B) ~~ z <-> (A u. B) ~~ x))
36	35	cbvrexv 1334	. 2 |- (E.z e. om (A u. B) ~~ z <-> E.x e. om (A u. B) ~~ x)
37	34, 36	sylib 173	1 |- ((E.x e. om A ~~ x /\ E.x e. om B ~~ x) -> E.x e. om (A u. B) ~~ x)

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   \ cdif 1484   u. cun 1485   i^i cin 1486   (_ wss 1487  (/)c0 1707   class class class wbr 2054  omcom 2372  (class class class)co 3001   +o coa 3101   ~~ cen 3271

This theorem is referenced by:  unfi2 3442  prfi 3444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-er 3200  df-en 3274

metamath.org