Theorem unfilem1 3438

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite.

Hypotheses

Ref	Expression
unfilem1.1	|- A e. om
unfilem1.2	|- B e. om
unfilem1.3	|- F = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}

Assertion

Ref	Expression
unfilem1	|- ran F = ((A +o B) \ A)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem unfilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnopab 2566	. 2 |- ran {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))} = {y | E.x(x e. B /\ y = (A +o x))}
2		unfilem1.3	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}
3	2	rneqi 2556	. 2 |- ran F = ran {<.x, y>. | (x e. B /\ y = (A +o x))}
4		eldif 1496	. . . 4 |- (y e. ((A +o B) \ A) <-> (y e. (A +o B) /\ -. y e. A))
5		unfilem1.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. om
6		unfilem1.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. om
7		nnacl 3172	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) e. om)
8	5, 6, 7	mp2an 520	. . . . . . . . 9 |- (A +o B) e. om
9		elnn 2383	. . . . . . . . 9 |- ((y e. (A +o B) /\ (A +o B) e. om) -> y e. om)
10	8, 9	mpan2 519	. . . . . . . 8 |- (y e. (A +o B) -> y e. om)
11		ordtri1 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord A /\ Ord y) -> (A (_ y <-> -. y e. A))
12		nnord 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. om -> Ord A)
13		nnord 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. om -> Ord y)
14	11, 12, 13	syl2an 349	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A (_ y <-> -. y e. A))
15		nnawordex 3192	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A (_ y <-> E.x e. om (A +o x) = y))
16	14, 15	bitr3d 408	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (-. y e. A <-> E.x e. om (A +o x) = y))
17	5, 16	mpan 518	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (-. y e. A <-> E.x e. om (A +o x) = y))
18		df-rex 1206	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. om (A +o x) = y <-> E.x(x e. om /\ (A +o x) = y))
19	17, 18	syl6bb 414	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> (-. y e. A <-> E.x(x e. om /\ (A +o x) = y)))
20	10, 19	syl 12	. . . . . . 7 |- (y e. (A +o B) -> (-. y e. A <-> E.x(x e. om /\ (A +o x) = y)))
21		nnaord 3177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. om /\ B e. om /\ A e. om) -> (x e. B <-> (A +o x) e. (A +o B)))
22	5, 21	mp3an3 641	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. om /\ B e. om) -> (x e. B <-> (A +o x) e. (A +o B)))
23	6, 22	mpan2 519	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. om -> (x e. B <-> (A +o x) e. (A +o B)))
24		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 |- ((A +o x) = y -> ((A +o x) e. (A +o B) <-> y e. (A +o B)))
25	23, 24	sylan9bb 418	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> (x e. B <-> y e. (A +o B)))
26	25	biimprcd 138	. . . . . . . . 9 |- (y e. (A +o B) -> ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> x e. B))
27		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +o x) = y <-> y = (A +o x))
28	27	biimp 133	. . . . . . . . . . 11 |- ((A +o x) = y -> y = (A +o x))
29	28	adantl 305	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> y = (A +o x))
30	29	a1i 7	. . . . . . . . 9 |- (y e. (A +o B) -> ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> y = (A +o x)))
31	26, 30	jcad 455	. . . . . . . 8 |- (y e. (A +o B) -> ((x e. om /\ (A +o x) = y) -> (x e. B /\ y = (A +o x))))
32	31	19.22dv 947	. . . . . . 7 |- (y e. (A +o B) -> (E.x(x e. om /\ (A +o x) = y) -> E.x(x e. B /\ y = (A +o x))))
33	20, 32	sylbid 178	. . . . . 6 |- (y e. (A +o B) -> (-. y e. A -> E.x(x e. B /\ y = (A +o x))))
34	33	imp 277	. . . . 5 |- ((y e. (A +o B) /\ -. y e. A) -> E.x(x e. B /\ y = (A +o x)))
35		eleq1 1149	. . . . . . . . 9 |- (y = (A +o x) -> (y e. (A +o B) <-> (A +o x) e. (A +o B)))
36		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 |- (y = (A +o x) -> (y e. A <-> (A +o x) e. A))
37	36	negbid 463	. . . . . . . . 9 |- (y = (A +o x) -> (-. y e. A <-> -. (A +o x) e. A))
38	35, 37	anbi12d 476	. . . . . . . 8 |- (y = (A +o x) -> ((y e. (A +o B) /\ -. y e. A) <-> ((A +o x) e. (A +o B) /\ -. (A +o x) e. A)))
39	38	biimparc 327	. . . . . . 7 |- ((((A +o x) e. (A +o B) /\ -. (A +o x) e. A) /\ y = (A +o x)) -> (y e. (A +o B) /\ -. y e. A))
40		elnn 2383	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. B /\ B e. om) -> x e. om)
41	6, 40	mpan2 519	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B -> x e. om)
42	41, 23	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (x e. B -> (x e. B <-> (A +o x) e. (A +o B)))
43	42	ibi 449	. . . . . . . 8 |- (x e. B -> (A +o x) e. (A +o B))
44		nnaword1 3186	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ x e. om) -> A (_ (A +o x))
45		nnacl 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A +o x) e. om)
46		nnord 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +o x) e. om -> Ord (A +o x))
47	5, 12	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . 13 |- Ord A
48		ordtri1 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Ord A /\ Ord (A +o x)) -> (A (_ (A +o x) <-> -. (A +o x) e. A))
49	47, 48	mpan 518	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord (A +o x) -> (A (_ (A +o x) <-> -. (A +o x) e. A))
50	45, 46, 49	3syl 21	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A (_ (A +o x) <-> -. (A +o x) e. A))
51	44, 50	mpbid 170	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ x e. om) -> -. (A +o x) e. A)
52	5, 51	mpan 518	. . . . . . . . 9 |- (x e. om -> -. (A +o x) e. A)
53	41, 52	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. B -> -. (A +o x) e. A)
54	43, 53	jca 236	. . . . . . 7 |- (x e. B -> ((A +o x) e. (A +o B) /\ -. (A +o x) e. A))
55	39, 54	sylan 343	. . . . . 6 |- ((x e. B /\ y = (A +o x)) -> (y e. (A +o B) /\ -. y e. A))
56	55	19.23aiv 952	. . . . 5 |- (E.x(x e. B /\ y = (A +o x)) -> (y e. (A +o B) /\ -. y e. A))
57	34, 56	impbi 139	. . . 4 |- ((y e. (A +o B) /\ -. y e. A) <-> E.x(x e. B /\ y = (A +o x)))
58	4, 57	bitr 151	. . 3 |- (y e. ((A +o B) \ A) <-> E.x(x e. B /\ y = (A +o x)))
59	58	biabri 1180	. 2 |- ((A +o B) \ A) = {y | E.x(x e. B /\ y = (A +o x))}
60	1, 3, 59	3eqtr4 1126	1 |- ran F = ((A +o B) \ A)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  E.wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   e. wcel 1092  E.wrex 1202   \ cdif 1484   (_ wss 1487  {copab 2055  Ord word 2198  omcom 2372  ran crn 2411  (class class class)co 3001   +o coa 3101

This theorem is referenced by:  unfilem2 3439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106

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