Theorem uni0b 1939

Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set.

Assertion

Ref	Expression
uni0b	|- (U.A = (/) <-> A (_ {(/)})

Proof of Theorem uni0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsn 1820	. . 3 |- (x e. {(/)} <-> x = (/))
2	1	biral 1223	. 2 |- (A.x e. A x e. {(/)} <-> A.x e. A x = (/))
3		dfss3 1498	. 2 |- (A (_ {(/)} <-> A.x e. A x e. {(/)})
4		n0 1714	. . . 4 |- (-. U.A = (/) <-> E.y y e. U.A)
5		rexcom4 1361	. . . . 5 |- (E.x e. A E.y y e. x <-> E.yE.x e. A y e. x)
6		n0 1714	. . . . . 6 |- (-. x = (/) <-> E.y y e. x)
7	6	birex 1224	. . . . 5 |- (E.x e. A -. x = (/) <-> E.x e. A E.y y e. x)
8		eluni2 1923	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.x e. A y e. x)
9	8	biex 733	. . . . 5 |- (E.y y e. U.A <-> E.yE.x e. A y e. x)
10	5, 7, 9	3bitr4r 159	. . . 4 |- (E.y y e. U.A <-> E.x e. A -. x = (/))
11		rexnal 1210	. . . 4 |- (E.x e. A -. x = (/) <-> -. A.x e. A x = (/))
12	4, 10, 11	3bitr 155	. . 3 |- (-. U.A = (/) <-> -. A.x e. A x = (/))
13	12	bicon4i 401	. 2 |- (U.A = (/) <-> A.x e. A x = (/))
14	2, 3, 13	3bitr4r 159	1 |- (U.A = (/) <-> A (_ {(/)})

Syntax hints:  -. wn 1   <-> wb 127  E.wex 678   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092  A.wral 1201  E.wrex 1202   (_ wss 1487  (/)c0 1707  {csn 1808  U.cuni 1919

This theorem is referenced by:  infxpidmlem8 4940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-sn 1811  df-uni 1920

metamath.org