HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem uniin 1935
Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235.
Assertion
Ref Expression
uniin |- U.(A i^i B) (_ (U.A i^i U.B)
Proof of Theorem uniin
StepHypRef Expression
1 19.40 773 . . 3 |- (E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)) -> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
2 eluni 1922 . . . 4 |- (x e. U.(A i^i B) <-> E.y(x e. y /\ y e. (A i^i B)))
3 elin 1635 . . . . . . 7 |- (y e. (A i^i B) <-> (y e. A /\ y e. B))
43anbi2i 367 . . . . . 6 |- ((x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> (x e. y /\ (y e. A /\ y e. B)))
5 anandi 392 . . . . . 6 |- ((x e. y /\ (y e. A /\ y e. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
64, 5bitr 151 . . . . 5 |- ((x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
76biex 733 . . . 4 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A i^i B)) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
82, 7bitr 151 . . 3 |- (x e. U.(A i^i B) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) /\ (x e. y /\ y e. B)))
9 elin 1635 . . . 4 |- (x e. (U.A i^i U.B) <-> (x e. U.A /\ x e. U.B))
10 eluni 1922 . . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y(x e. y /\ y e. A))
11 eluni 1922 . . . . 5 |- (x e. U.B <-> E.y(x e. y /\ y e. B))
1210, 11anbi12i 369 . . . 4 |- ((x e. U.A /\ x e. U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
139, 12bitr 151 . . 3 |- (x e. (U.A i^i U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) /\ E.y(x e. y /\ y e. B)))
141, 8, 133imtr4 192 . 2 |- (x e. U.(A i^i B) -> x e. (U.A i^i U.B))
1514ssriv 1508 1 |- U.(A i^i B) (_ (U.A i^i U.B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 196  E.wex 678   e. wel 803   e. wcel 1092   i^i cin 1486   (_ wss 1487  U.cuni 1919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074
This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-uni 1920
metamath.org