Theorem unipw 1960

Description: A class equals the union of its power class. Exercise 6(a) of [Enderton] p. 38.

Assertion

Ref	Expression
unipw	|- U.P~A = A

Proof of Theorem unipw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 1922	. . . 4 |- (x e. U.P~A <-> E.y(x e. y /\ y e. P~A))
2		visset 1350	. . . . . . . . 9 |- y e. V
3	2	elpw 1801	. . . . . . . 8 |- (y e. P~A <-> y (_ A)
4		ssel 1502	. . . . . . . 8 |- (y (_ A -> (x e. y -> x e. A))
5	3, 4	sylbi 174	. . . . . . 7 |- (y e. P~A -> (x e. y -> x e. A))
6	5	com12 13	. . . . . 6 |- (x e. y -> (y e. P~A -> x e. A))
7	6	imp 277	. . . . 5 |- ((x e. y /\ y e. P~A) -> x e. A)
8	7	19.23aiv 952	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ y e. P~A) -> x e. A)
9	1, 8	sylbi 174	. . 3 |- (x e. U.P~A -> x e. A)
10	9	ssriv 1508	. 2 |- U.P~A (_ A
11		visset 1350	. . . . . 6 |- x e. V
12	11	snid 1830	. . . . 5 |- x e. {x}
13		snex 1859	. . . . . 6 |- {x} e. V
14		eleq2 1150	. . . . . . 7 |- (y = {x} -> (x e. y <-> x e. {x}))
15		eleq1 1149	. . . . . . 7 |- (y = {x} -> (y e. P~A <-> {x} e. P~A))
16	14, 15	anbi12d 476	. . . . . 6 |- (y = {x} -> ((x e. y /\ y e. P~A) <-> (x e. {x} /\ {x} e. P~A)))
17	13, 16	cla4ev 1401	. . . . 5 |- ((x e. {x} /\ {x} e. P~A) -> E.y(x e. y /\ y e. P~A))
18	12, 17	mpan 518	. . . 4 |- ({x} e. P~A -> E.y(x e. y /\ y e. P~A))
19	11	snelpw 1861	. . . 4 |- (x e. A <-> {x} e. P~A)
20	18, 19, 1	3imtr4 192	. . 3 |- (x e. A -> x e. U.P~A)
21	20	ssriv 1508	. 2 |- A (_ U.P~A
22	10, 21	eqssi 1517	1 |- U.P~A = A

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196  E.wex 678   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092   (_ wss 1487  P~cpw 1798  {csn 1808  U.cuni 1919

This theorem is referenced by:  pwexb 1963  univ 1964  dfchsup2 5299  hsupval2t 5301  hsupvalt 5302  shsupclt 5307  shsupunss 5316

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-uni 1920

metamath.org