Theorem unissb 1941

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
unissb	|- (U.A (_ B <-> A.x e. A x (_ B)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem unissb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 1497	. . 3 |- (U.A (_ B <-> A.y(y e. U.A -> y e. B))
2		eluni 1922	. . . . . 6 |- (y e. U.A <-> E.x(y e. x /\ x e. A))
3	2	imbi1i 161	. . . . 5 |- ((y e. U.A -> y e. B) <-> (E.x(y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
4		19.23v 950	. . . . 5 |- (A.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (E.x(y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
5	3, 4	bitr4 154	. . . 4 |- ((y e. U.A -> y e. B) <-> A.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
6	5	bial 695	. . 3 |- (A.y(y e. U.A -> y e. B) <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
7		alcom 715	. . . 4 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B))
8		19.21v 942	. . . . . 6 |- (A.y(x e. A -> (y e. x -> y e. B)) <-> (x e. A -> A.y(y e. x -> y e. B)))
9		impexp 276	. . . . . . . 8 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (y e. x -> (x e. A -> y e. B)))
10		bi2.04 141	. . . . . . . 8 |- ((y e. x -> (x e. A -> y e. B)) <-> (x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
11	9, 10	bitr 151	. . . . . . 7 |- (((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
12	11	bial 695	. . . . . 6 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.y(x e. A -> (y e. x -> y e. B)))
13		dfss2 1497	. . . . . . 7 |- (x (_ B <-> A.y(y e. x -> y e. B))
14	13	imbi2i 160	. . . . . 6 |- ((x e. A -> x (_ B) <-> (x e. A -> A.y(y e. x -> y e. B)))
15	8, 12, 14	3bitr4 158	. . . . 5 |- (A.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> (x e. A -> x (_ B))
16	15	bial 695	. . . 4 |- (A.xA.y((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x (_ B))
17	7, 16	bitr 151	. . 3 |- (A.yA.x((y e. x /\ x e. A) -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> x (_ B))
18	1, 6, 17	3bitr 155	. 2 |- (U.A (_ B <-> A.x(x e. A -> x (_ B))
19		df-ral 1205	. 2 |- (A.x e. A x (_ B <-> A.x(x e. A -> x (_ B))
20	18, 19	bitr4 154	1 |- (U.A (_ B <-> A.x e. A x (_ B)

Syntax hints:   -> wi 2   <-> wb 127   /\ wa 196  A.wal 672  E.wex 678   e. wel 803   e. wcel 1092  A.wral 1201   (_ wss 1487  U.cuni 1919

This theorem is referenced by:  uniss2 1942  ssunieq 1945  bm2.5ii 2274  ordunisssuc 2334  sbthlem1 3349  isfinite2 3437  ac6lem 3575  zorn2 3612  suplem1pr 3955  suplem2pr 3956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-uni 1920

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