Theorem uniun 1934

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53.

Assertion

Ref	Expression
uniun	|- U.(A u. B) = (U.A u. U.B)

Proof of Theorem uniun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 767	. . . 4 |- (E.y((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) \/ E.y(x e. y /\ y e. B)))
2		elun 1601	. . . . . . 7 |- (y e. (A u. B) <-> (y e. A \/ y e. B))
3	2	anbi2i 367	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> (x e. y /\ (y e. A \/ y e. B)))
4		andi 456	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ (y e. A \/ y e. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
5	3, 4	bitr 151	. . . . 5 |- ((x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> ((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
6	5	biex 733	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> E.y((x e. y /\ y e. A) \/ (x e. y /\ y e. B)))
7		eluni 1922	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y(x e. y /\ y e. A))
8		eluni 1922	. . . . 5 |- (x e. U.B <-> E.y(x e. y /\ y e. B))
9	7, 8	orbi12i 216	. . . 4 |- ((x e. U.A \/ x e. U.B) <-> (E.y(x e. y /\ y e. A) \/ E.y(x e. y /\ y e. B)))
10	1, 6, 9	3bitr4 158	. . 3 |- (E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)) <-> (x e. U.A \/ x e. U.B))
11		eluni 1922	. . 3 |- (x e. U.(A u. B) <-> E.y(x e. y /\ y e. (A u. B)))
12		elun 1601	. . 3 |- (x e. (U.A u. U.B) <-> (x e. U.A \/ x e. U.B))
13	10, 11, 12	3bitr4 158	. 2 |- (x e. U.(A u. B) <-> x e. (U.A u. U.B))
14	13	cleqri 1101	1 |- U.(A u. B) = (U.A u. U.B)

Syntax hints:   \/ wo 195   /\ wa 196  E.wex 678   e. wel 803   = wceq 1091   e. wcel 1092   u. cun 1485  U.cuni 1919

This theorem is referenced by:  unidif0 1944  unisuc 2299  onuninsuc 2356

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-un 1490  df-uni 1920

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