Theorem uzrdgval 4657

Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on an upper partition of ZZ (typically either NN or NN0) with characteristic function F and initial value A. Normally F is a function on the partition, and A is a member of the partition.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
uzrdgval	|- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))

Distinct variable group(s):   x,y,z   z,G   z,A   z,B   x,C,y,z

Proof of Theorem uzrdgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . . . 5 |- C e. ZZ
2		om2uz.2	. . . . 5 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
3	1, 2	om2uzran 4655	. . . 4 |- ran G = {z e. ZZ | C <_ z}
4		df-rn 2429	. . . 4 |- ran G = dom `'G
5	3, 4	eqtr3 1121	. . 3 |- {z e. ZZ | C <_ z} = dom `'G
6	5	eleq2i 1153	. 2 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} <-> B e. dom `'G)
7		rdgfnon 2977	. . . . 5 |- rec(F, A) Fn On
8		fnfun 2721	. . . . 5 |- (rec(F, A) Fn On -> Fun rec(F, A))
9	7, 8	ax-mp 6	. . . 4 |- Fun rec(F, A)
10	1, 2	om2uzf1o 4656	. . . . . 6 |- G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z}
11		f1ocnv 2811	. . . . . 6 |- (G:om-1-1-onto->{z e. ZZ | C <_ z} -> `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om)
12	10, 11	ax-mp 6	. . . . 5 |- `'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om
13		f1ofun 2802	. . . . 5 |- (`'G:{z e. ZZ | C <_ z}-1-1-onto->om -> Fun `'G)
14	12, 13	ax-mp 6	. . . 4 |- Fun `'G
15	9, 14	pm3.2i 234	. . 3 |- (Fun rec(F, A) /\ Fun `'G)
16		fvco 2865	. . 3 |- (((Fun rec(F, A) /\ Fun `'G) /\ B e. dom `'G) -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))
17	15, 16	mpan 518	. 2 |- (B e. dom `'G -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))
18	6, 17	sylbi 174	1 |- (B e. {z e. ZZ | C <_ z} -> ((rec(F, A) o. `'G)` B) = (rec(F, A)` (`'G` B)))

Syntax hints:   -> wi 2   /\ wa 196   = wceq 1091   e. wcel 1092  {crab 1204   class class class wbr 2054  {copab 2055  Oncon0 2199  omcom 2372  `'ccnv 2409  dom cdm 2410  ran crn 2411   |` cres 2412   o. ccom 2414  Fun wfun 2416   Fn wfn 2417  -1-1-onto->wf1o 2421  ` cfv 2422  reccrdg 2969  (class class class)co 3001  1c1 4029   + caddc 4031   <_ cle 4092  ZZcz 4095

This theorem is referenced by:  uzrdgini 4658  uzrdgsuc 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org