Theorem uzwo3lem1 4614

Description: Lemma for uzwo3 4616 and zmin 4617.

Hypothesis

Ref	Expression
uzwo3lem.1	|- R = {z e. ZZ | B <_ z}

Assertion

Ref	Expression
uzwo3lem1	|- (B e. RR -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)

Distinct variable group(s):   z,B   x,y,R   y,z

Proof of Theorem uzwo3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnz 4613	. . 3 |- (B e. RR -> (E.v e. ZZ v < B /\ E.z e. ZZ B < z))
2	1	pm3.26d 258	. 2 |- (B e. RR -> E.v e. ZZ v < B)
3		ltletrt 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ z e. RR) -> ((v < B /\ B <_ z) -> v < z))
4		ltlet 4286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((v e. RR /\ z e. RR) -> (v < z -> v <_ z))
5	4	3adant2 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ z e. RR) -> (v < z -> v <_ z))
6	3, 5	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ z e. RR) -> ((v < B /\ B <_ z) -> v <_ z))
7		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. ZZ -> z e. RR)
8	6, 7	syl3an3 621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ z e. ZZ) -> ((v < B /\ B <_ z) -> v <_ z))
9		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v e. ZZ -> v e. RR)
10	8, 9	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((v e. ZZ /\ B e. RR /\ z e. ZZ) -> ((v < B /\ B <_ z) -> v <_ z))
11	10	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. ZZ /\ B e. RR /\ z e. ZZ) -> (v < B -> (B <_ z -> v <_ z)))
12	11	3exp 611	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. ZZ -> (B e. RR -> (z e. ZZ -> (v < B -> (B <_ z -> v <_ z)))))
13	12	com34 36	. . . . . . . . . . . 12 |- (v e. ZZ -> (B e. RR -> (v < B -> (z e. ZZ -> (B <_ z -> v <_ z)))))
14	13	imp32 281	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> (z e. ZZ -> (B <_ z -> v <_ z)))
15	14	r19.21aiv 1259	. . . . . . . . . 10 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> A.z e. ZZ (B <_ z -> v <_ z))
16		ss2rab 1553	. . . . . . . . . 10 |- ({z e. ZZ | B <_ z} (_ {z e. ZZ | v <_ z} <-> A.z e. ZZ (B <_ z -> v <_ z))
17	15, 16	sylibr 175	. . . . . . . . 9 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> {z e. ZZ | B <_ z} (_ {z e. ZZ | v <_ z})
18		uzwo3lem.1	. . . . . . . . 9 |- R = {z e. ZZ | B <_ z}
19	17, 18	syl5ss 1544	. . . . . . . 8 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> R (_ {z e. ZZ | v <_ z})
20	1	pm3.27d 262	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> E.z e. ZZ B < z)
21		ltlet 4286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. RR /\ z e. RR) -> (B < z -> B <_ z))
22	21, 7	sylan2 346	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. RR /\ z e. ZZ) -> (B < z -> B <_ z))
23	22	r19.22dva 1280	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> (E.z e. ZZ B < z -> E.z e. ZZ B <_ z))
24	18	cleq1i 1108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (R = (/) <-> {z e. ZZ | B <_ z} = (/))
25	24	negbii 162	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. R = (/) <-> -. {z e. ZZ | B <_ z} = (/))
26		rabn0 1716	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. {z e. ZZ | B <_ z} = (/) <-> E.z e. ZZ B <_ z)
27	25, 26	bitr2 152	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.z e. ZZ B <_ z <-> -. R = (/))
28		df-ne 1192	. . . . . . . . . . . 12 |- (R =/= (/) <-> -. R = (/))
29	27, 28	bitr4 154	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. ZZ B <_ z <-> R =/= (/))
30	23, 29	syl6ib 185	. . . . . . . . . 10 |- (B e. RR -> (E.z e. ZZ B < z -> R =/= (/)))
31	20, 30	mpd 46	. . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> R =/= (/))
32	31	ad2antrl 322	. . . . . . . 8 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> R =/= (/))
33	19, 32	jca 236	. . . . . . 7 |- ((v e. ZZ /\ (B e. RR /\ v < B)) -> (R (_ {z e. ZZ | v <_ z} /\ R =/= (/)))
34	33	exp 291	. . . . . 6 |- (v e. ZZ -> ((B e. RR /\ v < B) -> (R (_ {z e. ZZ | v <_ z} /\ R =/= (/))))
35		uzwo2 4606	. . . . . . 7 |- ((v e. ZZ /\ (R (_ {z e. ZZ | v <_ z} /\ R =/= (/))) -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)
36	35	exp 291	. . . . . 6 |- (v e. ZZ -> ((R (_ {z e. ZZ | v <_ z} /\ R =/= (/)) -> E!x e. R A.y e. R x <_ y))
37	34, 36	syld 27	. . . . 5 |- (v e. ZZ -> ((B e. RR /\ v < B) -> E!x e. R A.y e. R x <_ y))
38	37	exp3a 292	. . . 4 |- (v e. ZZ -> (B e. RR -> (v < B -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)))
39	38	com12 13	. . 3 |- (B e. RR -> (v e. ZZ -> (v < B -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)))
40	39	r19.23adv 1286	. 2 |- (B e. RR -> (E.v e. ZZ v < B -> E!x e. R A.y e. R x <_ y))
41	2, 40	mpd 46	1 |- (B e. RR -> E!x e. R A.y e. R x <_ y)

Syntax hints:  -. wn 1   -> wi 2   /\ wa 196   /\ w3a 581   = wceq 1091   e. wcel 1092   =/= wne 1190  A.wral 1201  E.wrex 1202  E!wreu 1203  {crab 1204   (_ wss 1487  (/)c0 1707   class class class wbr 2054  RRcr 4027   < clt 4033   <_ cle 4092  ZZcz 4095

This theorem is referenced by:  uzwo3lem2 4615  zmin 4617

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org